Kajian Pustaka Tentang Persamaan Diferensial Orde Dua dan Sistem Persamaan Diferensial

BAB I

PENDAHULUAN

                                                                                                             

1.1.       Latar Belakang

Persamaan diferensial seringkali muncul dalam model matematika yang mencoba menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Banyak hukum-hukum alam dan hipotesa- hipotesa dapat diterjemahkan ke dalam  persamaan yang mengandung turunan melalui bahasa matematik. Sebagai contoh, turunan- turunan dalam fisika muncul sebagai kecepatan dan percepatan, dalam geometri sebagai kemiringan (tanjakan), dalam biologi sebagai lajur pertambahan populasi, dalam psikologi sebagai lajur belajar, dalam kimia sebagai lajur reaksi, dalam ekonomi sebagai laju perubahan biaya hidup, dan dalam keuangan sebagai laju pertambahan investasi (Finisio, N., Ladas, G.. 1988).

Keadaan inilah yang merupakan persoalan pada banyak model-model matematika sehingga untuk memperoleh suatu persamaan diferensial yang melukiskan suatu persoalan kehidupan nyata, biasanya dimisalkan bahwa keadaan sebenarnya diatur oleh hukum- hukum yang sangat sederhana, katakanlah kita sering membuat pemisalan yang ideal. Model matematik tersusun dalam bentuk persamaan diferensial. Penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut dapat digunakan untuk membuat perkiraan mengenai kelakuan masalah sebenarnya. Bila perkiraan itu tidak sesuai dengan kenyataan maka harus diubah pemisalan- pemisalannya untuk mengarahkan dan mengusahakan membentuk suatu model yang lebih mendekati kenyataan (Finisio, N., Ladas, G.. 1988).

Dalam menentukan  suatu solusi dari persamaan diferensial perlu diketahui beberapa metode beserta teknik penyelesaiannya. Beberapa metode dalam persamaan diferensial linear orde n yang dipilih penulis anara lain metode koefisien tak tentu, metode pemisahan variabel dan metode faktor pengintegralan. Metode pemisahan variabel tersebut berupa persamaan diferensial terpisahkan, persamaan diferensial reduksi terpisahkan, persamaan diferensial dengan koefisien fungsi linear dan persamaan diferensial riccati.

Persamaan diferensial dapat diaplikasikan kedalam berbagai bidang, salah satunya ialah mengenai aplikasi persamaan diferensial orde dua ke dalam sistem gerak yang diilustrasikan dengan benda bermassa m yang tergantung pada suatu pegas seperti pada gambar 1.

Suatu persamaan diferensial linear orde- n adalah suatu persamaan yang berbentuk:

             (1.1)

di mana koefisien- koefisien adalah fungsi- fungsi yang kontinu pada suatu selang . Solusi umum dari persamaan (1.1)  adalah:

                             (1.2)

Cara menyelesaikan persamaan diferensial yang mengandung satu fungsi yang tidak diketahu dapat digeneralisasikan ke dalam cara menyelesaikan n buah persamaan diferensial dengan n  buah fungsi yang tidak diketahui(n bulat positif ≥2), seperti halnya kita menggeneralisasikan cara menyelesaikan persamaan diferensial linear orde satu ke dalam cara menyelesaikan persamaan diferensial linear orde dua.

Sistem persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan berukuran 2x2 berbentuk:

                                                                        (1.3)

di mana koefisien dan fungsi-fungsi  semua merupakan fungsi dari t yang kontinu pada suatu interval I dan dan  adalah fungsi dari t yang tidak diketahui. Sistem persamaan diferensial  di atas dapat diperumum lagi ke dalam sistem persamaan diferensial yang terdiri dari n buah persamaan diferensial dengan n buah fungsi yang tidak diketahui (n bulat positif lebih besar dari 2 ), yang berbentuk:

                                            (1.4)

atau secara singkat dinyatakan dengan:

                                        (1.5)

dimana:

  

sistem persamaan (1.4) atau (1.5)  disebut sistem n persamaan diferensial linear tingkat satu, yang dapat pula dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai:

                                                                                 (1.6)

dimana:

    , ,   (1.7)

khususnya, bila  (1.6) disebut sistem persamaan diferensial linear homogen dan bila  (1.6)) disebut sistem persamaan diferensial linear tak homogen.

Metode eliminasi dan metode matriks merupakan dua metode dasar untuk mencari penyelesaian dari sistem (1.3) jika koefisien-koefisien  semuanya konstanta. Metode ini selanjutnya diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (1.4) jika koefisien  semuanya konstanta.   Metode eliminasi merupakan metode termudah untuk menyelesaikan sistem (1.3). Sedangkan  metode matriks lebih tepat untuk digunakan dalam menyelesaikan sistem (1.4) dengan .

Suatu penyelesaian sistem (1.3) merupakan sepasang fungsi  dan   yang masing-masing dapat diturunkan pada suatu interval  dan yang jika disubstitusikan ke dalam kedua persamaan dari (1.3) membuat identitas dalam  untuk semua  di dalam .

Seperti diketahui bahwa suatu metode selalu mempunyai kelemahan- kelemahan dalam penggunaannya. Metode termudah yang sering digunakan yaitu metode eliminasi. Akan tetapi dalam kasus tertentu kita mengalami kesulitan dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan metode eliminasi. Oleh karena itu untuk memperoleh suatu penyelesaian yang tepat dari sistem persamaan diferensial, kita perlu mengetahui beberapa metode yang memudahkan kita untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan diferensial. Beberapa metode yang lain yang sering digunakan antara lain: metode matriks, metode operator, metode koefisien tak tentu dan metode variasi parameter.

Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk melakukan penulisan yang berjudul “Kajian Pustaka Tentang Persamaan Diferensial Orde Dua dan Sistem Persamaan Diferensial”.

1.2.       Rumusan Masalah

Adapun permasalahan dalam penulisan ini adalah:

1.    Bagaimana membentuk suatu rumusan atau formula solusi partikelir dengan metode koefisien tak tentu  untuk PD linear orde n tak homogen yang diturunkan dari metode model koefisien konstan?

2.    Bagaimana memahami beberapa metode dalam persamaan diferensial orde dua untuk mencari solusi umum dari persamaan diferensial orde dua?

3.    Bagaimana mengaplikasikan persamaan diferensial orde dua ke dalam sistem gerak?

4.    Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan menggunakan metode eliminasi dan metode matriks?

5.    Bagaimana mengetahui sifat kestabilan suatu titik dari sistem linear dan non linear?

1.3.       Pembatasan Masalah

Untuk menghindari luasnya cakupan masalah ini, maka penulis membatasi kajian ini pada parmasalahan sistem persamaan diferensial linear orde n dengan koefisien konstan yang berbentuk:

         

atau dalam bentuk matriks:

                    

serta sistem persamaan diferensial tak linear tingkat satu orde dua yang berbentuk:

                                                  

                  

1.4.       Tujuan Penelitian

Kajian ini bertujuan untuk:

1.    Menghasilkan suatu rumus atau formula solusi partikelir dengan metode koefisien tak tentu untuk PD linear orde n tak homogen dengan koefisien konstanta.

2.    Megetahui beberapa metode dalam persamaan diferensial orde dua untuk mencari solusi umum dari persamaan diferensial orde dua.

3.    Mengetahui cara mengaplikasikan persamaan diferensial orde dua ke dalam sistem gerak

4.    Mengetahui cara menyelesaikan sistem persamaan diferensial orde n dengan menggunakan metode eliminasi dan metode matriks.

5.    Memahami sifat kestabilan suatu titik  tetap dari sistem linear dan non linear.

1.5.       Manfaat Penelitian

Tulisan ini diharapkan dapat memberikan kontribusi:

1.    Bagi berbagai kalangan di bidang matematika, hasil kajian ini berguna untuk  memperkaya pengetahuan tentang persamaan diferensial orde dua dan sistem persamaan diferensial.

2.    Bagi mahasiswa matematika sebagai motivasi untuk mengadakan   penelitian   lebih lanjut mengenai persamaan diferensial orde dua dan sistem persamaan diferensial.

BAB II

TINJAUAN  PUSTAKA

Penentuan solusi persamaan diferensial orde- n dengan koefisien konstanta dapat dilakukan dengan berbagai metode, salah satunya adalah metode pemisahan variabel. Demikian pula penentuan solusi dari sistem persamaan diferensial, dapat diselesaikan dengan berbagai metode. Metode yang sudah dikenal antara lain, adalah metode eliminasi dan metode laplace. Sebagaimana diketahui bahwa suatu metode selalu mempunyai kelemahan- kelemahan dalam penggunaannya; antara lain ruang lingkup masalah yang dapat diselesaikan dan kesederhanaan langkah- langkah pengerjaan.

2.1.       Metode Koefisien Tak Tentu

Berikut ini pengandaian solusi partikelir dengan menggunakan metode koefisien tak tentu untuk bentuk- bentuk fungsi G(x).

Tabel 1. Pengandaian sulusi partikelir y_p, untuk G(x)=g_n(x)

G(x)=gn(x) polinom berderajat n. Solusi partikelir yp diandaikan:
a.       yp= A0+A1x+...+Anxn; dengan A0,A1,...,An  konstanta.	Apabila  0   (nol)   bukan  akar  dari   persamaan karakteristik PD homogen.
b.      yp=xs(A0+A1x+...+Anxn); dengan A0,A1,...,An konstanta.	Apabila  0 (nol) merupakan  akar  dari  persamaan karakteristik PD homogen dan berulang sebanyak s kali.

Tabel 2. Pengandaian solusi partikelir y_p, untuk G(x)=g_n(x)e^λx

G(x)=gn(x)eλx; G(x) merupakan perkalian suatu polinom berderajat n dengan fungsi eλx, λ riil.Solusi partikelir yp diandaikan sebagai berikut:
a.        yp=(A0+A1x+...+Anxn)eλx; dengan  A0,A1,...,An konstanta.	Apabila λ bukan akar  dari  persamaan karakteristik PD homogen.
b.       yp=xs(A0+A1x+...+Anxn)eλx; dengan  A0,A1,...,An konstanta.	Apabila  λ merupakan  akar  dari  persamaan karakteristik PD homogen dan berulang sebanyak s kali

Tabel 3. Pengandaian solusi partikelir y_p, untuk G(x)= g_n(x)e^λxcoswx atau

G(x)= g_n(x)e^λxsinwx

G(x)= gn(x)eλx coswx  atau   G(x)= gn(x)eλx   sinwx, dengan gn(x) polinom berderajat n. Solusi Partikelir yp diandaikan sebagai berikut:
a.        yp= eλx((A0+A1x+...+Anxn)coswx+     (B0+B1x+...+Bnxn)sinwx)) dengan A0,A1,...,An dan B0,B1,...,Bn konstanta	Apabila  λ+wi   bukan    akar  kompleks    dari   persamaan karakteristik PD homogen.
b.       yp=xseλx((A0+A1x+...+Anxn)coswx+      (B0+B1x+...+Bnxn)sinwx)) dengan A0,A1,...,An dan B0,B1,...,Bn konstanta	Apabila λ+wi  merupakan akar kompleks dari    persamaan karakteristik   PD homogen dan berulang sebanyak s kali.

Dari ketiga tabel terlihat bahwa ada keterkaitan antara solusi partikelir dan solusi PD homogennya, secara khusus, keterkaitan tersebut terdapat pada persamaan karakteristik PD homogennya. Langkah- langkah pengerjaannya dengan menggunakan metode koefisien tak tentu adalah sebagai berikut:

1.    Menentukan persamaan karakteristik dari PD homogennya

2.    Menceri akar- akar persamaan karakteristik

3.    Memeriksa apakah akar- akar dari persamaan karakteristik sama dengan

4.    Melakukan pengandaian untuk solusi partikelir  yang sesuai dengan kondisi pada langkah 3), dan polinom pada ruas kanan

5.    Menurunkan (mendiferensialkan)  sebanyak n kali

6.    Mensubstitusikan  ke PD  tak homogen  sehingga memenuhi persamaan.

7.    Diperoleh n buah persamaan dan n buah konstanta yang tidak diketahui, n  derajad polinom +1

8.    Menentukan nilai konstanta- konstanta  yang tidak diketahui dari (7), yang merupakan koefisien- koefisien dari polinom pengandaian untuk solusi partikelir.

2.2.       Metode Pemisahan Variabel

Telah diketahui bahwa persamaan diferensial biasa tingkat satu derajad satu adalah suatu persamaan yang memuat satu variabel bebas x, variabel tak bebas y dan derivatif . Persamaan ini biasa ditulis:

                                                                               (2.1)

dengan adalah kontinu di  dan y. Sering kali persamaan (2.1) dapat ditulis dalam bentuk lain seperti:

                                                         (2.2)

Suatu persamaan diferensial memberikan informasi tentang fungsi tak diketahui.

Penyelesaian umum (general solution) dari suatu persamaan diferensial tingkat satu adalah keluarga dari semua fungsi yang memenuhi persamaan. Setiap fungsi dari keluarga tersebut adalah  suatu penyelesaian khusus (particular solution) dari persamaan diferensial.

2.2.1.      Persamaan diferensial terpisahkan                                    

Suatu persamaan diferensial terpisahkan (separable differential equation) adalah suatu persamaan diferensial biasa tingkat satu yang secara aljabar dapat direduksi ke suatu bentuk diferensial baku dengan setiap suku tak nol memuat secara tepat satu variabel. Sebagai contoh yaitu dengan penyelesaiannya adalah

Persamaan (2.1) adalah terpisahkan jika dapat ditulis kedalam bentuk:

                                                                          (2.3)

sedangkan jika persamaan diferensial diberikan dalam bentuk (2.2), maka persamaan diferensial ini dikatakan terpisahkan jika dapat ditulis ke bentuk

                                                  (2.4)

Suatu penyelesaian umum untuk persamaan (2.3) dapat ditemukan dengan lebih dahulu mengalikannya dengan , selanjutnya dibagi dengan dan diintegralkan

                                                                (2.5)

Langkah- langkah untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial terpisahkan yang diberikan dalam bentuk (2.1) adalah:

1.    Persamaan dituliskan dalam bentuk (2.3) untuk menentukan , dan diselesaikan persamaan untuk memperoleh penyelesaian konstan dari PD

2.    Digunakan beberapa operasi aljabar untuk memisahkan variabel dan selanjutnya diintegralkan. Jika mungkin , diselesaikan untuk sebagai fungsi dari . Penyelesaian ini biasanya tergantung pada suatu konstan k.

3.    Dituliskan penyelesaian umum untuk PD yang diperoleh pada langkah 1dan 2 dengan memperhatikan apakah penyelesaian konstan dapat diperoleh dari penyelesaian pada langkah 2.

4.    Jika suatu nilai awal diberikan, digunakan syarat tersebut untuk menemukan konstanta dan penyelesaian khusus dari MNA. Perlu dicatat bahwa mungkin penyelesaian khususnya adalah penyelesaian konstan pada langkah 1

Untuk kasus dan harus dilakukan secara terpisah pada langkah 1 dan 2 sebab pembagi oleh pada langkah 2 tidak dapat dilakukan untuk .

2.2.2.      Persamaan diferensial reduksi terpisahkan

Suatu fungsi adalah fungsi homogen berderajat n dalam x dan y jika

untuk setiap parameter . Sebagai contoh

a.     adalah fungsi homogen berderajat 0

b.     adalah fungsi homogen berderajat -1

c.     adalah fungsi homogen berderajat

Persamaan (2.2) dinamakan PD dengan koefisien fungsi homogen jika danadalah fungsi homogen berderajat sama, katakan . Lebih lanjut jika persamaan tersebut dibawa ke bentuk (2.1), maka persamaan dapat ditulis kembali menjadi:

                                      (2.6)

Perlu diperhatikan bahwa ruas kanan tidak berubah apabila secara bersamaan diganti dengan dan diganti dengan . Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah:

1.    Dimisalkan  untuk , atau ekuivalen dengan , dan derivatifnya  atau

2.    Disubsitusian persamaan pada langkah 1 ke persamaan diferensial dan dikelompokan dalam dua suku diferensial  dan sehingga akan diperoleh persamaan diferensial terpisahkan.

3.    Diselesaikan persamaan diferensial terpisahkan tersebut

4.    Disubstitusikanke persamaan yang diperoleh pada langkah 3 sebagai penyelesaian untuk PD awal

2.2.3.      Persamaan diferensial dengan koefisien fungsi linear

Pada persamaan (2.2), jika dan adalah fungsi linear dalam dan maka persamaan tersebut dinamakan persamaan diferensial dengan koefisien fungsi linear. Dengan kata lain persamaan ini mempunyai bentuk:

                                          (2.7)

dengan

Berikut ini diperhatikan dua kasus beserta langkah penyelesaiannya:

Kasus 1.

 atau  untuk suatu .

Langkah- langkah penyelesaiannya adalah:

1.    Dimisalkan dengan diferensialnya adalah:

 

2.    Disubstitusikan persamaan pada langkah 1 ke PD awal untuk memperoleh PD terpisahkan  dalam dan

3.    Diselesaikan PD terpisahkan

4.    Disubstitusikan  ke penyelesaian PD langkah 3 untuk memperoleh penyelesaian PD awal.

Kasus 2.   atau  untuk setiap

Langkah- langkah penyelesaiannya adalah:

1.    Dimisalkan  dan  dengan  dan  berturut- turut adalah adalah nilai  dan  yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear:

2.    Disubstitusikan persamaan dan pada langkah 1 beserta diferensialnya  dan  ke PD awal untuk memperoleh PD koefisien fungsi homogen dalam dan .

3.    Diselesaikan PD yang diperoleh dari langkah 3

4.    Disubstitusikan  dan  untuk memperoleh penyelesaian PD awal.

2.2.4.      Persamaan diferensial riccati

Persamaan diferensial riccati mempunyai bentuk:

                                                                              (2.8)

Secara jelas jika , maka persamaan menjadi persamaan Bernouli. Jika , penyelesaian umum dicari dengan langkah- langkah sebagai berikut

1.    Diambil satu penyelesaian khusus (biasanya sudah diketahui)  

dan karena itu dipunyai:

                                                      (2.9)

2.    Diambil  dan derivatifnya

                                                       (2.10)

Kepersamaan Riccati diperoleh

                                        

                                        

                                         

persamaan (2.9) disederhanakan menjadi:

diperoleh persamaan diferensial tingkat satu

                                               (2.11)

3.    Persamaan (2.11) diselesaikan untuk

4.    Disubstitusikan penyelesaian ke  untuk memperoleh penyelesaian umum PD awal.

2.3.       Metode Faktor Pengintegralan

Persamaan linear orde 1 berbentuk: .                                        (2.12) dapat dicari solusinya dengan metode: faktor pengintegralan, yaitu dengan cara mengalikan persamaan diferensial linear (2.12) dengan  sehingga: ,  dengan  merupakan  fungsi dengan variabel .

Faktor pengintegralan  dapat dicari dengan rumus: .  Ide dari penggunaan faktor pengintegralan ini adalah menjadikan persamaan diferensial tersebut bersifat eksak, yakni sisi kiri persamaan diferensial .

Ingat bahwa: 

Solusi umum dari persamaan (2.13) adalah:

Kembali ke PD (2.12)  maka:

2.4.       Sistem Gerak

Sistem gerak diilustrasikan dengan benda bermassa m yang tergantung pada suatu pegas ditunjukan pada gambar 1. Pemodelan sistem gerak pada gambar 1 didasarkan pada hukum newton II, yaitu:

                                                                                  (2.15)

dengan:

Gaya- gaya yang bekerja pada benda yang tergantung pada pegas:

1.     

adalah gaya gravitasi benda, adalah massa benda dan adalah gravitasi. Arah gaya ini ke bawah karena pengaruh gravitasi. Gaya ini sering disebut sebagai berat benda.

2.   

adalah gaya pegas, adalah konstanta pegas,  adalah posisi benda, adalah perubahan panjang pegas. Arah gaya pegas ke atas dan ke bawah, jika pegas ditarik negatif, arah gaya ke atas dan jika pegas ditekan positif, arah gaya ke bawah.

3.   

 adalah gaya redaman , arah gaya berlawanan dengan gerak benda, adalah konstanta redaman,  adalah kecepatan benda. Jika sistem disebut sistem teredam (dumped system), jika  sistem disebut sistem takteredam (undamped system)

4.   

 adalah gaya eksternal, arah gaya dapat ke atas atau ke bawah. Penerapan gaya ini langsung pada benda atau pegas

L                                             L                                        L                                                       L                                 L

Gambar 1 Sistem gerak benda pada pegas

Berdasarkan hukum II newton di atas maka:

 adalah gaya yang bekerja pada benda,  adalah percepatan benda sehingga:

                                (2.16)

untuk sistem dalam kesetimbangan  sehingga persamaan menjadi:

                                                     (2.17)

Model persamaan terakhir menghasilkan persamaan diferensial orde dua. Persamaan diferensial orde dua di atas menggambarkan sistem gerak benda pada pegas. Jika (tanpa gaya eksternal) sistem disebut sistem gerak bebas (unforced). Jika  maka sistem disebut sistem tak teredam (undamped) dan jika  maka sistem disebut sistem teredam (damped).

Model dari ketiga jenis sistem gerak tersebut adalah:

1.        Sistem gerak  bebas tak teredam  yang berbentuk:

2.        Sistem gerak bebas teredam  yang berbentuk:

Sistem gerak bebas teredam terdiri dari:

·         Sistem teredam kurang (underdamped),

·         Sistem teredam kritis (Critically damped),

·         Sistem teredam lebih (Overdamped),

2.5.       Metode Eliminasi

Metode eliminasi merupakan metode yang paling dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial dalam dua fungsi yang tak diketahui dan dengan koefisien konstanta. Metode ini bertujuan untuk mengubah sistem yang diberikan ke suatu persamaan diferensial tunggal dalam suatu fungsi yang takdiketahui dengan mengeliminasikan peubah bebas lainnya.

Jika  koefisien semuanya konstanta dan fungsi-fungsi  identik dengan nol, maka sistem persamaan diferensial (1.3) dapat disederhanakan ke dalam bentuk :

       (a)                                                                        (2.18)

       (b)        

2.6.       Metode Matriks

Pada bagian sebelumnya sudah dikemukakan bagaimana menyelesaikan sistem dari dua persamaan diferensial linear dalam dua fungsi yang takdiketahui dengan koefisien konstanta. Salah satu  metode sederhana  yang digunakan dalam menyelesaikan  sistem tersebut adalah metode eliminasi. Akan tetapi metode eliminasi tersebut sangat sulit digunakan dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan sistem persamaan diferensial yang terdiri dari tiga persamaan atau lebih, oleh karena itu digunakan metode nilai eigen yang perhitungannya lebih sederhana di samping keunggulannya dalam menganalisis solusi dari sistem persamaan diferensial.

Metode nilai eigen merupakan perluasan dari  cara penyelesaian persamaan diferensial tunggal yang memisalkan solusinya berbentuk

                    

sehingga dalam sistem persamaan diferensial kita mengasumsikan solusinya berbentuk 

                    

sehingga

                                                                               

dapat dinyatakan sebagai:

                                                                  (2.19)    

   ; 

Misalkan

                                    (2.20)

atau

       

2.7.       Fundamental Matriks

Teorema 2.1. Jika  adalah fundamental matriks dari sistem persamaan linear

                                                                                      (2.21)

pada suatu interval dimana  dan  kontinu, maka solusi partikelir dari sistem persamaan linear tidak homogen

                                                                                                (2.22)

ditentukan oleh solusi

                                                                              (2.23)

Misalkan

                                                                                               (2.24)

                                                               (2.25)

Apabila persamaan (2.24) dan (2.25) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.22) kita peroleh:

                                                (2.26)

tetapi  adalah matriks fundamental  yang memenuhi sistem persamaan linear vektor (2.21)

            

maka

                                                                                           

Oleh karena itu persamaan (2.24) menjadi

                      

                       

                      

                                                                                            (2.27)

 atau integralkan (2.27) maka

                                                                                       (2.28)

sehingga:

                      

                     

 Jadi solusi umum persamaan diferensial (2.22) adalah

                       

                                                                    (2.29)

Jika kita diberikan nilai awal 

 

maka

                                                                            (2.30)

Jika persamaan (2.19) diberikan nilai awal

                                                                           (2.31)

maka 

                                                             

dan solusi persamaan (2.31) menjadi

                                        (2.32)

2.8.       Sistem Tak Linear

2.8.1.  Kestabilan dan bidang fase

Banyak sekali fenomena alam yang dapat dimodelkan dengan sistem persamaan diferensial tingkat satu orde dua berbentuk :

                                                                                                (2.33)

                  

di mana variabel  tidak muncul pada ruas kanan persamaan (2.33).  Sistem sedemikian ini disebut sistem otonom atau sistem mandiri (autonomous).  Tidak munculnya variabel  pada ruas kanan ini memudahkan kita untuk menganalisa dan memvisualisasikan solusinya. Kita asumsikan bahwa dan  kontinu dan diferensiabel di suatu daerah   pada bidang  yang disebut bidang fase.

Jika diketahui  dan   maka pasti ada satu dan tidak lebih dari satu solusi ,  dari persamaan (2.33) yang terdefenisi pada suatu interval buka  yang memuat  dan memenuhi kondisi awal

                         ;                                                                 (2.34)

,  menggambarkan suatu kurve solusi parameter di dalam bidang fase.  Solusi ini disebut trayektori dari sistem (2.33) dan pasti ada satu trayektori yang melalui setiap titik pada .

Suatu titik  yang memenuhi

                                                                             (2.35)

disebut titik tetap.  Jika  adalah suatu titik tetap dari sistem maka nilai fungsi konstan

                    ,                                                                   (2.36)

memenuhi sistem (2.33). Nilai solusi konstan ini disebut dengan solusi ekuilibrium atau solusi keseimbangan.

Seringkali kita menemukan solusi-solusi sederhana dan trayektori dari suatu masalah real menarik di sekitar kita.  

Misalkan

                   ;

merupakan model dua populasi binatang  dan  yang dapat hidup berdampingan dalam suatu lingkungan tertentu.  Kedua populasi binatang tersebut dapat berkompetisi untuk mendapatkan sumber makanan yang sama atau populasi yang satu menjadi prey bagi populasi predator lainnya.  Misalkan adalah populasi kelinci dan  adalah populasi tupai (bajing), maka pasti ada satu titik tetap  dari sistem yang menjelaskan bahwa suatu populasi konstan  dari kelinci dan suatu populasi konstan  dari tupai yang dapat hidup bersama-sama dalam suatu lingkungan.  Jika  bukan merupakan titik tetap maka tidak mungkin bagi populasi konstan  dari kelinci dapat hidup berdampingan dengan populasi konstan  dari tupai. Salah satu atau keduanya berubah sejalan dengan perubahan waktu.

2.8.2.  Bidang fase

Jika titik awal  adalah bukan suatu titik tetap, maka trayektorinya adalah suatu kurve pada bidang  yang merupakan lintasan titik sejalan dengan meningkatnya .  Kita dapat menganalisisnya secara kualitatif sifat-sifat solusi dari sistem otonom (mandiri) dari persamaan (2.33) dengan cara membuat sketsa bidang fase atau menggambar  bidang fase dari titik-titik tetap dan trayektori non degenerate khusus.  Kita juga boleh mengkonstruksi field gradien dengan menggambar segmen garis- segmen garis khusus yang mempunyai kemiringan

                                                                                 (2.37)

atau mengkonstruksi medan arah dengan menggambar vektor-vektor khusus dalam arah yang sama pada setiap titik seperti vektor .  Medan vektor  menunjukkan arah lintasan trayektori untuk menerangkan sistem persamaan diferensial.  Medan arah yang ditunjukkan oleh tanda panah menjelaskan arah pergerakan titik .

2.8.3.  Sifat-sifat titik tetap dan kestabilan

Secara deskriptif solusi titik tetap dinyatakan stabil apabila setiap solusi yang bermula pada titik yang dekat dengan titik tetap, akan tetap dekat untuk selamanya. Sedangkan solusi titik tetap dikatakan tidak stabil bila terdapat jarak tertentu dari titik tetap sehingga ada solusi yang bagaimana pun dekatnya titik permulaan ke titik tetap, solusi itu pasti akan melewati jarak tertentu tersebut. Selanjutnya solusi titik tetap itu stabil asimptotik bila stabil dan setiap solusi yang cukup dekat ke titik tetap akan menuju ke titik tetap untuk .

2.9.       Sistem Linear dan Sistem Mendekati Linear

Pada bagian ini akan diulas sifat-sifat dari solusi sistem

                                                                                                  

                           

di sekitar titik tetap  di mana:

                 

Suatu titik tetap dikatakan terisolasi apabila disekitarnya tidak terdapat titik tetap lain.  Asumsikan  dan  adalah diferensiabel dan kontinu di sekitar titik . Tanpa menghilangkan bentuk umum, kita dapat menetapkan .  Jika tidak gunakan substitusi

                    ,                                                                (2.38)

sehingga:

                   dan 

dan sistem (2.33) ekivalen dengan sistem yang baru :

                                                                  (2.39)

                

dengan  sebagai titik tetap.

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1.       Desain Penelitian

Penelitian ini menggunakan metode kajian pustaka yaitu dengan mencari referensi- referensi penunjang penelitian, yang dimulai dari latar belakang masalah, perumusan masalah, tujuan dan manfaat penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, hasil dan pembahasan dan kesimpulan.

3.2.       Prosedur Penelitian

Secara singkat proses Penelitian ini dapat diuraikan sebagai berikut:

1.    Dengan menggunakan sifat operator linear, diperoleh bentuk umum solusi partikelir y_p.

2.    Dipilih beberapa metode dalam persamaan diferensial orde-  n untuk mencari solusi umum dari persamaan diferensial orde- n

3.    Diplih bentuk dan solusi umum dari persamaan diferensial orde dua kemudian diaplikasikan ke dalam sistem gerak.

4.    Dengan menggunakan metode eliminasi dan metode matriks , diperoleh solusi umum dari sistem persamaan diferensial.

5.    Dipilih bentuk umum sistem linear dan nonliner kemudian dianalisis sifat- sifat kestabilan sistem linear dan nonlinear tersebut.

BAB I

PENDAHULUAN

                                                                                                             

1.1.       Latar Belakang

Persamaan diferensial seringkali muncul dalam model matematika yang mencoba menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Banyak hukum-hukum alam dan hipotesa- hipotesa dapat diterjemahkan ke dalam  persamaan yang mengandung turunan melalui bahasa matematik. Sebagai contoh, turunan- turunan dalam fisika muncul sebagai kecepatan dan percepatan, dalam geometri sebagai kemiringan (tanjakan), dalam biologi sebagai lajur pertambahan populasi, dalam psikologi sebagai lajur belajar, dalam kimia sebagai lajur reaksi, dalam ekonomi sebagai laju perubahan biaya hidup, dan dalam keuangan sebagai laju pertambahan investasi (Finisio, N., Ladas, G.. 1988).

Keadaan inilah yang merupakan persoalan pada banyak model-model matematika sehingga untuk memperoleh suatu persamaan diferensial yang melukiskan suatu persoalan kehidupan nyata, biasanya dimisalkan bahwa keadaan sebenarnya diatur oleh hukum- hukum yang sangat sederhana, katakanlah kita sering membuat pemisalan yang ideal. Model matematik tersusun dalam bentuk persamaan diferensial. Penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut dapat digunakan untuk membuat perkiraan mengenai kelakuan masalah sebenarnya. Bila perkiraan itu tidak sesuai dengan kenyataan maka harus diubah pemisalan- pemisalannya untuk mengarahkan dan mengusahakan membentuk suatu model yang lebih mendekati kenyataan (Finisio, N., Ladas, G.. 1988).

Dalam menentukan  suatu solusi dari persamaan diferensial perlu diketahui beberapa metode beserta teknik penyelesaiannya. Beberapa metode dalam persamaan diferensial linear orde n yang dipilih penulis anara lain metode koefisien tak tentu, metode pemisahan variabel dan metode faktor pengintegralan. Metode pemisahan variabel tersebut berupa persamaan diferensial terpisahkan, persamaan diferensial reduksi terpisahkan, persamaan diferensial dengan koefisien fungsi linear dan persamaan diferensial riccati.

Persamaan diferensial dapat diaplikasikan kedalam berbagai bidang, salah satunya ialah mengenai aplikasi persamaan diferensial orde dua ke dalam sistem gerak yang diilustrasikan dengan benda bermassa m yang tergantung pada suatu pegas seperti pada gambar 1.

Suatu persamaan diferensial linear orde- n adalah suatu persamaan yang berbentuk:

             (1.1)

di mana koefisien- koefisien adalah fungsi- fungsi yang kontinu pada suatu selang . Solusi umum dari persamaan (1.1)  adalah:

                             (1.2)

Cara menyelesaikan persamaan diferensial yang mengandung satu fungsi yang tidak diketahu dapat digeneralisasikan ke dalam cara menyelesaikan n buah persamaan diferensial dengan n  buah fungsi yang tidak diketahui(n bulat positif ≥2), seperti halnya kita menggeneralisasikan cara menyelesaikan persamaan diferensial linear orde satu ke dalam cara menyelesaikan persamaan diferensial linear orde dua.

Sistem persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan berukuran 2x2 berbentuk:

                                                                        (1.3)

di mana koefisien dan fungsi-fungsi  semua merupakan fungsi dari t yang kontinu pada suatu interval I dan dan  adalah fungsi dari t yang tidak diketahui. Sistem persamaan diferensial  di atas dapat diperumum lagi ke dalam sistem persamaan diferensial yang terdiri dari n buah persamaan diferensial dengan n buah fungsi yang tidak diketahui (n bulat positif lebih besar dari 2 ), yang berbentuk:

                                            (1.4)

atau secara singkat dinyatakan dengan:

                                        (1.5)

dimana:

  

sistem persamaan (1.4) atau (1.5)  disebut sistem n persamaan diferensial linear tingkat satu, yang dapat pula dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai:

                                                                                 (1.6)

dimana:

    , ,   (1.7)

khususnya, bila  (1.6) disebut sistem persamaan diferensial linear homogen dan bila  (1.6)) disebut sistem persamaan diferensial linear tak homogen.

Metode eliminasi dan metode matriks merupakan dua metode dasar untuk mencari penyelesaian dari sistem (1.3) jika koefisien-koefisien  semuanya konstanta. Metode ini selanjutnya diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (1.4) jika koefisien  semuanya konstanta.   Metode eliminasi merupakan metode termudah untuk menyelesaikan sistem (1.3). Sedangkan  metode matriks lebih tepat untuk digunakan dalam menyelesaikan sistem (1.4) dengan .

Suatu penyelesaian sistem (1.3) merupakan sepasang fungsi  dan   yang masing-masing dapat diturunkan pada suatu interval  dan yang jika disubstitusikan ke dalam kedua persamaan dari (1.3) membuat identitas dalam  untuk semua  di dalam .

Seperti diketahui bahwa suatu metode selalu mempunyai kelemahan- kelemahan dalam penggunaannya. Metode termudah yang sering digunakan yaitu metode eliminasi. Akan tetapi dalam kasus tertentu kita mengalami kesulitan dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan metode eliminasi. Oleh karena itu untuk memperoleh suatu penyelesaian yang tepat dari sistem persamaan diferensial, kita perlu mengetahui beberapa metode yang memudahkan kita untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan diferensial. Beberapa metode yang lain yang sering digunakan antara lain: metode matriks, metode operator, metode koefisien tak tentu dan metode variasi parameter.

Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk melakukan penulisan yang berjudul “Kajian Pustaka Tentang Persamaan Diferensial Orde Dua dan Sistem Persamaan Diferensial”.

1.2.       Rumusan Masalah

Adapun permasalahan dalam penulisan ini adalah:

1.    Bagaimana membentuk suatu rumusan atau formula solusi partikelir dengan metode koefisien tak tentu  untuk PD linear orde n tak homogen yang diturunkan dari metode model koefisien konstan?

2.    Bagaimana memahami beberapa metode dalam persamaan diferensial orde dua untuk mencari solusi umum dari persamaan diferensial orde dua?

3.    Bagaimana mengaplikasikan persamaan diferensial orde dua ke dalam sistem gerak?

4.    Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan menggunakan metode eliminasi dan metode matriks?

5.    Bagaimana mengetahui sifat kestabilan suatu titik dari sistem linear dan non linear?

1.3.       Pembatasan Masalah

Untuk menghindari luasnya cakupan masalah ini, maka penulis membatasi kajian ini pada parmasalahan sistem persamaan diferensial linear orde n dengan koefisien konstan yang berbentuk:

         

atau dalam bentuk matriks:

                    

serta sistem persamaan diferensial tak linear tingkat satu orde dua yang berbentuk:

                                                  

                  

1.4.       Tujuan Penelitian

Kajian ini bertujuan untuk:

1.    Menghasilkan suatu rumus atau formula solusi partikelir dengan metode koefisien tak tentu untuk PD linear orde n tak homogen dengan koefisien konstanta.

2.    Megetahui beberapa metode dalam persamaan diferensial orde dua untuk mencari solusi umum dari persamaan diferensial orde dua.

3.    Mengetahui cara mengaplikasikan persamaan diferensial orde dua ke dalam sistem gerak

4.    Mengetahui cara menyelesaikan sistem persamaan diferensial orde n dengan menggunakan metode eliminasi dan metode matriks.

5.    Memahami sifat kestabilan suatu titik  tetap dari sistem linear dan non linear.

1.5.       Manfaat Penelitian

Tulisan ini diharapkan dapat memberikan kontribusi:

1.    Bagi berbagai kalangan di bidang matematika, hasil kajian ini berguna untuk  memperkaya pengetahuan tentang persamaan diferensial orde dua dan sistem persamaan diferensial.

2.    Bagi mahasiswa matematika sebagai motivasi untuk mengadakan   penelitian   lebih lanjut mengenai persamaan diferensial orde dua dan sistem persamaan diferensial.

BAB II

TINJAUAN  PUSTAKA

Penentuan solusi persamaan diferensial orde- n dengan koefisien konstanta dapat dilakukan dengan berbagai metode, salah satunya adalah metode pemisahan variabel. Demikian pula penentuan solusi dari sistem persamaan diferensial, dapat diselesaikan dengan berbagai metode. Metode yang sudah dikenal antara lain, adalah metode eliminasi dan metode laplace. Sebagaimana diketahui bahwa suatu metode selalu mempunyai kelemahan- kelemahan dalam penggunaannya; antara lain ruang lingkup masalah yang dapat diselesaikan dan kesederhanaan langkah- langkah pengerjaan.

2.1.       Metode Koefisien Tak Tentu

Berikut ini pengandaian solusi partikelir dengan menggunakan metode koefisien tak tentu untuk bentuk- bentuk fungsi G(x).

Tabel 1. Pengandaian sulusi partikelir y_p, untuk G(x)=g_n(x)

G(x)=gn(x) polinom berderajat n. Solusi partikelir yp diandaikan:
a.       yp= A0+A1x+...+Anxn; dengan A0,A1,...,An  konstanta.	Apabila  0   (nol)   bukan  akar  dari   persamaan karakteristik PD homogen.
b.      yp=xs(A0+A1x+...+Anxn); dengan A0,A1,...,An konstanta.	Apabila  0 (nol) merupakan  akar  dari  persamaan karakteristik PD homogen dan berulang sebanyak s kali.

Tabel 2. Pengandaian solusi partikelir y_p, untuk G(x)=g_n(x)e^λx

G(x)=gn(x)eλx; G(x) merupakan perkalian suatu polinom berderajat n dengan fungsi eλx, λ riil.Solusi partikelir yp diandaikan sebagai berikut:
a.        yp=(A0+A1x+...+Anxn)eλx; dengan  A0,A1,...,An konstanta.	Apabila λ bukan akar  dari  persamaan karakteristik PD homogen.
b.       yp=xs(A0+A1x+...+Anxn)eλx; dengan  A0,A1,...,An konstanta.	Apabila  λ merupakan  akar  dari  persamaan karakteristik PD homogen dan berulang sebanyak s kali

Tabel 3. Pengandaian solusi partikelir y_p, untuk G(x)= g_n(x)e^λxcoswx atau

G(x)= g_n(x)e^λxsinwx

G(x)= gn(x)eλx coswx  atau   G(x)= gn(x)eλx   sinwx, dengan gn(x) polinom berderajat n. Solusi Partikelir yp diandaikan sebagai berikut:
a.        yp= eλx((A0+A1x+...+Anxn)coswx+     (B0+B1x+...+Bnxn)sinwx)) dengan A0,A1,...,An dan B0,B1,...,Bn konstanta	Apabila  λ+wi   bukan    akar  kompleks    dari   persamaan karakteristik PD homogen.
b.       yp=xseλx((A0+A1x+...+Anxn)coswx+      (B0+B1x+...+Bnxn)sinwx)) dengan A0,A1,...,An dan B0,B1,...,Bn konstanta	Apabila λ+wi  merupakan akar kompleks dari    persamaan karakteristik   PD homogen dan berulang sebanyak s kali.

Dari ketiga tabel terlihat bahwa ada keterkaitan antara solusi partikelir dan solusi PD homogennya, secara khusus, keterkaitan tersebut terdapat pada persamaan karakteristik PD homogennya. Langkah- langkah pengerjaannya dengan menggunakan metode koefisien tak tentu adalah sebagai berikut:

1.    Menentukan persamaan karakteristik dari PD homogennya

2.    Menceri akar- akar persamaan karakteristik

3.    Memeriksa apakah akar- akar dari persamaan karakteristik sama dengan

4.    Melakukan pengandaian untuk solusi partikelir  yang sesuai dengan kondisi pada langkah 3), dan polinom pada ruas kanan

5.    Menurunkan (mendiferensialkan)  sebanyak n kali

6.    Mensubstitusikan  ke PD  tak homogen  sehingga memenuhi persamaan.

7.    Diperoleh n buah persamaan dan n buah konstanta yang tidak diketahui, n  derajad polinom +1

8.    Menentukan nilai konstanta- konstanta  yang tidak diketahui dari (7), yang merupakan koefisien- koefisien dari polinom pengandaian untuk solusi partikelir.

2.2.       Metode Pemisahan Variabel

Telah diketahui bahwa persamaan diferensial biasa tingkat satu derajad satu adalah suatu persamaan yang memuat satu variabel bebas x, variabel tak bebas y dan derivatif . Persamaan ini biasa ditulis:

                                                                               (2.1)

dengan adalah kontinu di  dan y. Sering kali persamaan (2.1) dapat ditulis dalam bentuk lain seperti:

                                                         (2.2)

Suatu persamaan diferensial memberikan informasi tentang fungsi tak diketahui.

Penyelesaian umum (general solution) dari suatu persamaan diferensial tingkat satu adalah keluarga dari semua fungsi yang memenuhi persamaan. Setiap fungsi dari keluarga tersebut adalah  suatu penyelesaian khusus (particular solution) dari persamaan diferensial.

2.2.1.      Persamaan diferensial terpisahkan                                    

Suatu persamaan diferensial terpisahkan (separable differential equation) adalah suatu persamaan diferensial biasa tingkat satu yang secara aljabar dapat direduksi ke suatu bentuk diferensial baku dengan setiap suku tak nol memuat secara tepat satu variabel. Sebagai contoh yaitu dengan penyelesaiannya adalah

Persamaan (2.1) adalah terpisahkan jika dapat ditulis kedalam bentuk:

                                                                          (2.3)

sedangkan jika persamaan diferensial diberikan dalam bentuk (2.2), maka persamaan diferensial ini dikatakan terpisahkan jika dapat ditulis ke bentuk

                                                  (2.4)

Suatu penyelesaian umum untuk persamaan (2.3) dapat ditemukan dengan lebih dahulu mengalikannya dengan , selanjutnya dibagi dengan dan diintegralkan

                                                                (2.5)

Langkah- langkah untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial terpisahkan yang diberikan dalam bentuk (2.1) adalah:

1.    Persamaan dituliskan dalam bentuk (2.3) untuk menentukan , dan diselesaikan persamaan untuk memperoleh penyelesaian konstan dari PD

2.    Digunakan beberapa operasi aljabar untuk memisahkan variabel dan selanjutnya diintegralkan. Jika mungkin , diselesaikan untuk sebagai fungsi dari . Penyelesaian ini biasanya tergantung pada suatu konstan k.

3.    Dituliskan penyelesaian umum untuk PD yang diperoleh pada langkah 1dan 2 dengan memperhatikan apakah penyelesaian konstan dapat diperoleh dari penyelesaian pada langkah 2.

4.    Jika suatu nilai awal diberikan, digunakan syarat tersebut untuk menemukan konstanta dan penyelesaian khusus dari MNA. Perlu dicatat bahwa mungkin penyelesaian khususnya adalah penyelesaian konstan pada langkah 1

Untuk kasus dan harus dilakukan secara terpisah pada langkah 1 dan 2 sebab pembagi oleh pada langkah 2 tidak dapat dilakukan untuk .

2.2.2.      Persamaan diferensial reduksi terpisahkan

Suatu fungsi adalah fungsi homogen berderajat n dalam x dan y jika

untuk setiap parameter . Sebagai contoh

a.     adalah fungsi homogen berderajat 0

b.     adalah fungsi homogen berderajat -1

c.     adalah fungsi homogen berderajat

Persamaan (2.2) dinamakan PD dengan koefisien fungsi homogen jika danadalah fungsi homogen berderajat sama, katakan . Lebih lanjut jika persamaan tersebut dibawa ke bentuk (2.1), maka persamaan dapat ditulis kembali menjadi:

                                      (2.6)

Perlu diperhatikan bahwa ruas kanan tidak berubah apabila secara bersamaan diganti dengan dan diganti dengan . Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah:

1.    Dimisalkan  untuk , atau ekuivalen dengan , dan derivatifnya  atau

2.    Disubsitusian persamaan pada langkah 1 ke persamaan diferensial dan dikelompokan dalam dua suku diferensial  dan sehingga akan diperoleh persamaan diferensial terpisahkan.

3.    Diselesaikan persamaan diferensial terpisahkan tersebut

4.    Disubstitusikanke persamaan yang diperoleh pada langkah 3 sebagai penyelesaian untuk PD awal

2.2.3.      Persamaan diferensial dengan koefisien fungsi linear

Pada persamaan (2.2), jika dan adalah fungsi linear dalam dan maka persamaan tersebut dinamakan persamaan diferensial dengan koefisien fungsi linear. Dengan kata lain persamaan ini mempunyai bentuk:

                                          (2.7)

dengan

Berikut ini diperhatikan dua kasus beserta langkah penyelesaiannya:

Kasus 1.

 atau  untuk suatu .

Langkah- langkah penyelesaiannya adalah:

1.    Dimisalkan dengan diferensialnya adalah:

 

2.    Disubstitusikan persamaan pada langkah 1 ke PD awal untuk memperoleh PD terpisahkan  dalam dan

3.    Diselesaikan PD terpisahkan

4.    Disubstitusikan  ke penyelesaian PD langkah 3 untuk memperoleh penyelesaian PD awal.

Kasus 2.   atau  untuk setiap

Langkah- langkah penyelesaiannya adalah:

1.    Dimisalkan  dan  dengan  dan  berturut- turut adalah adalah nilai  dan  yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear:

2.    Disubstitusikan persamaan dan pada langkah 1 beserta diferensialnya  dan  ke PD awal untuk memperoleh PD koefisien fungsi homogen dalam dan .

3.    Diselesaikan PD yang diperoleh dari langkah 3

4.    Disubstitusikan  dan  untuk memperoleh penyelesaian PD awal.

2.2.4.      Persamaan diferensial riccati

Persamaan diferensial riccati mempunyai bentuk:

                                                                              (2.8)

Secara jelas jika , maka persamaan menjadi persamaan Bernouli. Jika , penyelesaian umum dicari dengan langkah- langkah sebagai berikut

1.    Diambil satu penyelesaian khusus (biasanya sudah diketahui)  

dan karena itu dipunyai:

                                                      (2.9)

2.    Diambil  dan derivatifnya

                                                       (2.10)

Kepersamaan Riccati diperoleh

                                        

                                        

                                         

persamaan (2.9) disederhanakan menjadi:

diperoleh persamaan diferensial tingkat satu

                                               (2.11)

3.    Persamaan (2.11) diselesaikan untuk

4.    Disubstitusikan penyelesaian ke  untuk memperoleh penyelesaian umum PD awal.

2.3.       Metode Faktor Pengintegralan

Persamaan linear orde 1 berbentuk: .                                        (2.12) dapat dicari solusinya dengan metode: faktor pengintegralan, yaitu dengan cara mengalikan persamaan diferensial linear (2.12) dengan  sehingga: ,  dengan  merupakan  fungsi dengan variabel .

Faktor pengintegralan  dapat dicari dengan rumus: .  Ide dari penggunaan faktor pengintegralan ini adalah menjadikan persamaan diferensial tersebut bersifat eksak, yakni sisi kiri persamaan diferensial .

Ingat bahwa: 

Solusi umum dari persamaan (2.13) adalah:

Kembali ke PD (2.12)  maka:

2.4.       Sistem Gerak

Sistem gerak diilustrasikan dengan benda bermassa m yang tergantung pada suatu pegas ditunjukan pada gambar 1. Pemodelan sistem gerak pada gambar 1 didasarkan pada hukum newton II, yaitu:

                                                                                  (2.15)

dengan:

Gaya- gaya yang bekerja pada benda yang tergantung pada pegas:

1.     

adalah gaya gravitasi benda, adalah massa benda dan adalah gravitasi. Arah gaya ini ke bawah karena pengaruh gravitasi. Gaya ini sering disebut sebagai berat benda.

2.   

adalah gaya pegas, adalah konstanta pegas,  adalah posisi benda, adalah perubahan panjang pegas. Arah gaya pegas ke atas dan ke bawah, jika pegas ditarik negatif, arah gaya ke atas dan jika pegas ditekan positif, arah gaya ke bawah.

3.   

 adalah gaya redaman , arah gaya berlawanan dengan gerak benda, adalah konstanta redaman,  adalah kecepatan benda. Jika sistem disebut sistem teredam (dumped system), jika  sistem disebut sistem takteredam (undamped system)

4.   

 adalah gaya eksternal, arah gaya dapat ke atas atau ke bawah. Penerapan gaya ini langsung pada benda atau pegas

L                                             L                                        L                                                       L                                 L

Gambar 1 Sistem gerak benda pada pegas

Berdasarkan hukum II newton di atas maka:

 adalah gaya yang bekerja pada benda,  adalah percepatan benda sehingga:

                                (2.16)

untuk sistem dalam kesetimbangan  sehingga persamaan menjadi:

                                                     (2.17)

Model persamaan terakhir menghasilkan persamaan diferensial orde dua. Persamaan diferensial orde dua di atas menggambarkan sistem gerak benda pada pegas. Jika (tanpa gaya eksternal) sistem disebut sistem gerak bebas (unforced). Jika  maka sistem disebut sistem tak teredam (undamped) dan jika  maka sistem disebut sistem teredam (damped).

Model dari ketiga jenis sistem gerak tersebut adalah:

1.        Sistem gerak  bebas tak teredam  yang berbentuk:

2.        Sistem gerak bebas teredam  yang berbentuk:

Sistem gerak bebas teredam terdiri dari:

·         Sistem teredam kurang (underdamped),

·         Sistem teredam kritis (Critically damped),

·         Sistem teredam lebih (Overdamped),

2.5.       Metode Eliminasi

Metode eliminasi merupakan metode yang paling dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial dalam dua fungsi yang tak diketahui dan dengan koefisien konstanta. Metode ini bertujuan untuk mengubah sistem yang diberikan ke suatu persamaan diferensial tunggal dalam suatu fungsi yang takdiketahui dengan mengeliminasikan peubah bebas lainnya.

Jika  koefisien semuanya konstanta dan fungsi-fungsi  identik dengan nol, maka sistem persamaan diferensial (1.3) dapat disederhanakan ke dalam bentuk :

       (a)                                                                        (2.18)

       (b)        

2.6.       Metode Matriks

Pada bagian sebelumnya sudah dikemukakan bagaimana menyelesaikan sistem dari dua persamaan diferensial linear dalam dua fungsi yang takdiketahui dengan koefisien konstanta. Salah satu  metode sederhana  yang digunakan dalam menyelesaikan  sistem tersebut adalah metode eliminasi. Akan tetapi metode eliminasi tersebut sangat sulit digunakan dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan sistem persamaan diferensial yang terdiri dari tiga persamaan atau lebih, oleh karena itu digunakan metode nilai eigen yang perhitungannya lebih sederhana di samping keunggulannya dalam menganalisis solusi dari sistem persamaan diferensial.

Metode nilai eigen merupakan perluasan dari  cara penyelesaian persamaan diferensial tunggal yang memisalkan solusinya berbentuk

                    

sehingga dalam sistem persamaan diferensial kita mengasumsikan solusinya berbentuk 

                    

sehingga

                                                                               

dapat dinyatakan sebagai:

                                                                  (2.19)    

   ; 

Misalkan

                                    (2.20)

atau

       

2.7.       Fundamental Matriks

Teorema 2.1. Jika  adalah fundamental matriks dari sistem persamaan linear

                                                                                      (2.21)

pada suatu interval dimana  dan  kontinu, maka solusi partikelir dari sistem persamaan linear tidak homogen

                                                                                                (2.22)

ditentukan oleh solusi

                                                                              (2.23)

Misalkan

                                                                                               (2.24)

                                                               (2.25)

Apabila persamaan (2.24) dan (2.25) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.22) kita peroleh:

                                                (2.26)

tetapi  adalah matriks fundamental  yang memenuhi sistem persamaan linear vektor (2.21)

            

maka

                                                                                           

Oleh karena itu persamaan (2.24) menjadi

                      

                       

                      

                                                                                            (2.27)

 atau integralkan (2.27) maka

                                                                                       (2.28)

sehingga:

                      

                     

 Jadi solusi umum persamaan diferensial (2.22) adalah

                       

                                                                    (2.29)

Jika kita diberikan nilai awal 

 

maka

                                                                            (2.30)

Jika persamaan (2.19) diberikan nilai awal

                                                                           (2.31)

maka 

                                                             

dan solusi persamaan (2.31) menjadi

                                        (2.32)

2.8.       Sistem Tak Linear

2.8.1.  Kestabilan dan bidang fase

Banyak sekali fenomena alam yang dapat dimodelkan dengan sistem persamaan diferensial tingkat satu orde dua berbentuk :

                                                                                                (2.33)

                  

di mana variabel  tidak muncul pada ruas kanan persamaan (2.33).  Sistem sedemikian ini disebut sistem otonom atau sistem mandiri (autonomous).  Tidak munculnya variabel  pada ruas kanan ini memudahkan kita untuk menganalisa dan memvisualisasikan solusinya. Kita asumsikan bahwa dan  kontinu dan diferensiabel di suatu daerah   pada bidang  yang disebut bidang fase.

Jika diketahui  dan   maka pasti ada satu dan tidak lebih dari satu solusi ,  dari persamaan (2.33) yang terdefenisi pada suatu interval buka  yang memuat  dan memenuhi kondisi awal

                         ;                                                                 (2.34)

,  menggambarkan suatu kurve solusi parameter di dalam bidang fase.  Solusi ini disebut trayektori dari sistem (2.33) dan pasti ada satu trayektori yang melalui setiap titik pada .

Suatu titik  yang memenuhi

                                                                             (2.35)

disebut titik tetap.  Jika  adalah suatu titik tetap dari sistem maka nilai fungsi konstan

                    ,                                                                   (2.36)

memenuhi sistem (2.33). Nilai solusi konstan ini disebut dengan solusi ekuilibrium atau solusi keseimbangan.

Seringkali kita menemukan solusi-solusi sederhana dan trayektori dari suatu masalah real menarik di sekitar kita.  

Misalkan

                   ;

merupakan model dua populasi binatang  dan  yang dapat hidup berdampingan dalam suatu lingkungan tertentu.  Kedua populasi binatang tersebut dapat berkompetisi untuk mendapatkan sumber makanan yang sama atau populasi yang satu menjadi prey bagi populasi predator lainnya.  Misalkan adalah populasi kelinci dan  adalah populasi tupai (bajing), maka pasti ada satu titik tetap  dari sistem yang menjelaskan bahwa suatu populasi konstan  dari kelinci dan suatu populasi konstan  dari tupai yang dapat hidup bersama-sama dalam suatu lingkungan.  Jika  bukan merupakan titik tetap maka tidak mungkin bagi populasi konstan  dari kelinci dapat hidup berdampingan dengan populasi konstan  dari tupai. Salah satu atau keduanya berubah sejalan dengan perubahan waktu.

2.8.2.  Bidang fase

Jika titik awal  adalah bukan suatu titik tetap, maka trayektorinya adalah suatu kurve pada bidang  yang merupakan lintasan titik sejalan dengan meningkatnya .  Kita dapat menganalisisnya secara kualitatif sifat-sifat solusi dari sistem otonom (mandiri) dari persamaan (2.33) dengan cara membuat sketsa bidang fase atau menggambar  bidang fase dari titik-titik tetap dan trayektori non degenerate khusus.  Kita juga boleh mengkonstruksi field gradien dengan menggambar segmen garis- segmen garis khusus yang mempunyai kemiringan

                                                                                 (2.37)

atau mengkonstruksi medan arah dengan menggambar vektor-vektor khusus dalam arah yang sama pada setiap titik seperti vektor .  Medan vektor  menunjukkan arah lintasan trayektori untuk menerangkan sistem persamaan diferensial.  Medan arah yang ditunjukkan oleh tanda panah menjelaskan arah pergerakan titik .

2.8.3.  Sifat-sifat titik tetap dan kestabilan

Secara deskriptif solusi titik tetap dinyatakan stabil apabila setiap solusi yang bermula pada titik yang dekat dengan titik tetap, akan tetap dekat untuk selamanya. Sedangkan solusi titik tetap dikatakan tidak stabil bila terdapat jarak tertentu dari titik tetap sehingga ada solusi yang bagaimana pun dekatnya titik permulaan ke titik tetap, solusi itu pasti akan melewati jarak tertentu tersebut. Selanjutnya solusi titik tetap itu stabil asimptotik bila stabil dan setiap solusi yang cukup dekat ke titik tetap akan menuju ke titik tetap untuk .

2.9.       Sistem Linear dan Sistem Mendekati Linear

Pada bagian ini akan diulas sifat-sifat dari solusi sistem

                                                                                                  

                           

di sekitar titik tetap  di mana:

                 

Suatu titik tetap dikatakan terisolasi apabila disekitarnya tidak terdapat titik tetap lain.  Asumsikan  dan  adalah diferensiabel dan kontinu di sekitar titik . Tanpa menghilangkan bentuk umum, kita dapat menetapkan .  Jika tidak gunakan substitusi

                    ,                                                                (2.38)

sehingga:

                   dan 

dan sistem (2.33) ekivalen dengan sistem yang baru :

                                                                  (2.39)

                

dengan  sebagai titik tetap.

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1.       Desain Penelitian

Penelitian ini menggunakan metode kajian pustaka yaitu dengan mencari referensi- referensi penunjang penelitian, yang dimulai dari latar belakang masalah, perumusan masalah, tujuan dan manfaat penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, hasil dan pembahasan dan kesimpulan.

3.2.       Prosedur Penelitian

Secara singkat proses Penelitian ini dapat diuraikan sebagai berikut:

1.    Dengan menggunakan sifat operator linear, diperoleh bentuk umum solusi partikelir y_p.

2.    Dipilih beberapa metode dalam persamaan diferensial orde-  n untuk mencari solusi umum dari persamaan diferensial orde- n

3.    Diplih bentuk dan solusi umum dari persamaan diferensial orde dua kemudian diaplikasikan ke dalam sistem gerak.

4.    Dengan menggunakan metode eliminasi dan metode matriks , diperoleh solusi umum dari sistem persamaan diferensial.

5.    Dipilih bentuk umum sistem linear dan nonliner kemudian dianalisis sifat- sifat kestabilan sistem linear dan nonlinear tersebut.