METODE THEIL

METODE THEIL

          Analisis regresi merupakan suatu metode yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat yang dinyatakan dalam sebuah persamaan regresi.Dalam analisis tersebut diberlakukan asumsi-asumsi terhadap galat,salah satunya yaitu bahwa galat menyebar memenuhi distribusi normal dengan rata-rata nol dan varians tertentu.Apabila asumsi tersebut dipenuhi,maka penaksiran parameter dari persamaan regresi diselesaikan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (ordinary Least Square). Tetapi dalam kenyataannya,data yang diperoleh dari hasil penelitian tidak selalu mengikuti distribusi normal.Sehingga diperlukan suatu metode statistika yang dapat digunakan dengan mengabaikan segala asumsi yang melandasi metode statistika parametrik dan metode yang tepat adalah metode statistika nonparametrik.Salah satu metode statistika nonparametrik yang digunakan untuk menyelesaikan analisis regresi linier dengan kenormalan galat tidak dipenuhi adalah Metode Theil.

          Metode Theil adalah salah satu metode statistika nonparametrik yang menaksir koefisien kemiringan (slope) garis regresi dengan cara mencari median kemiringan seluruh pasangan garis dari titik-titik variabel X dan Y,dengan nilai  yang berbeda.Pengujian koefisien kemiringan (slope) disusun berdasarkan statistik Tau Kendall yang digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan variabel-variabel dalam persamaan regresi.

       Analisis regresi dengan menggunakan Metode Theil dilandasi pada asumsi-asumsi sebagai berikut:(Daniel,1989:448)

1.      Persamaan regresinya adalah:

   ,  

Dengan adalah variabel bebas, dan adalah parameter-parameter yang tidak diketahui.

2.      Untuk masing-masing nilai terdapat nilai .

3.       adalah nilai yang teramati dari Y.

4.      Semua nilai yang berbeda (tidak ada angka yang sama)sehingga dapat ditetapkan

5.      Nilai-nilai saling bebas dan berdistribusi secara acak dengan median nol dan mempunyai hubungan saling bebas dengan

Ø  Penaksiran Parameter dengan Metode Theil

1.Penaksiran koefisien slope( )

          Theil telah mengusulkan sebuah metode untuk mendapatkan penaksir koefisien ,jika asumsi kenormalan galat tidak terpenuhi. Dalam hal ini diasumsikan bahwa data sesuai dengan model regresi linier sederhana sebagai berikut:

 

Semua nilai  berbeda (tidak ada angka yang sama) sehingga dapat ditetapkan . Data yang terrsedia untuk di analisis terdiri dari  pasangan nilai pengamatan . Untuk mendapatkan penaksir ,pertama-tama hitung semua nilai . Dengan adalah nilai slope (kemiringan) pasangan dan  yang dituliskan sebagai berikut:

                            ……….(1)   

                   dengan  dan

Asumsikan nilai  seluruhnya berbeda,kemudian nilai tersebut diurutkan dari niai terkecil sampai terbesar sehingga dengan jelas  untuk seluruh  dan Akan dibuktikan bahwa

  ……terbukti

Maka untuk  pengamatan ada  dari nilai yang berbeda.Akan dibuktikan bahwa

                    :

Untuk lebih jelasnya nilai-nilai  yang akan dihitung dari  pengamatan dapat ditulis dalam bentuk matriks segitiga atas sebagai berikut:

           

Penaksir yang baik untuk akan menjadi nilai galat yang sesuai dengan masing-masing nilai pengamatan dan dinotasikan dengan ,dan nilai galat  akan mempunyai median nol serta mempunyai hubungan yang saling bebas dengan .Sehingga untuk mendapatkan penaksir  dengan metode Theil pada dasarnya adalah dengan membuat jumlah konkordan sama dengan jumlah diskordan pada data pasangan .Statistik yang digunakan adalah :

,   dan    ……..(2)

 dengan

            

Dimana

 [

Keterangan:

selisih nilai galat  dengan

Jumlah tanda dari konkordan dikurangi diskordan  

            Pada data berpasangan

Untuk mendapatkan penaksir dilakukan dengan cara membuat ,karena jumlah tanda konkordan sama dengan jumlah tanda diskordan.Sehingga dapat disimpulkan bahwa jumlah galat  dan saling bebas.Jika  disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar,maka dapat menggantikan dengan ,dengan

      

                         ………(3)

Sehingga

,   dan   ….(4)     

 Dimana

                      

Pembilang pada persamaan (3) diatas mempunyai nilai yang sama dengan ,sehingga dengan mengganti dengan tidak akan mempengaruhi tanda ,karena penyebut   selalu bernilai positif yaitu jika nilai disusun dari yang terkecil sampai terbesar dengan   dan .

               Untuk mendapatkan ,maka dipilih ,sehingga memungkinkan setengah pasangan konkordan dan setengahnya lagi diskordan.Jika jumlah tanda positif (konkordan)dan negative(diskordan) sama ,maka akan menyebabkan nilai koefisien korelasi Tau Kendall antara  dan  sama dengan nol,artinya  dan saling bebas.

             Penaksir untuk  ditulis dengan lambang ,yang dihitung berdasarkan median dari dengan mengurutkan nilai dari yang terkecil sampai terbesar yang berjumlah N. Jika N genap maka dapat di tulis N = 2M  dan N = 2M+1 jika N ganjil.Sehingga penaksir dari koefisien slope  dapat dinyatakan sebagai berikut:

             …………….(5)

Dengan  atau  dapat ditulis:

   ……..(6)

Contoh 1:

Seseorang mengamati kecepatan air mengalir dalam meter kubik per detik (Y)dititik tertentu di sebuah pengunungan yang dicatat dalam interval waktu (X) yang dimulai dengan ,sehingga didapatkan data sebagai berikut:

X	0	1	2	3	4	5	6
Y	2,5	3,1	3,4	4,0	4,6	5,1	11,1

                                                                                                                

Gunakan Metode Theil untuk menaksir koefisien slope pada data tersebut!

Penyelesaian:

Pertama-tama diurutkan nilai X dari nilai yang terkecil sampai terbesar kemudian menghitung banyak nilai  yang harus dihitung dari  data yaitu:

       

Jadi banyak nilai yang harus dihitung ada 21,selanjutnya akan dihitung nilai-nilai  sebagai berikut:

                    

Dan apabila dilanjutkan terus dengan cara ini,hasilnya dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

            Tabel 1.1. Nilai setelah diurutkan

M	b(M)
1	0,3
2	0,45
3	0,45
4	0,5
5	0,5
6	0,5
7	0,5
8	0,52
9	0,525
10	0,55
11	0,567
12	0,6
13	0,6
14	0,6
15	0,6
16	1,433
17	1,6
18	1,925
19	2,367
20	3,25
21	6

               Karena

                              

              Maka

2.      Penaksiran intercept ( )

           Setelah penaksir telah diperoleh,maka persamaan regresinya berbentuk:

                 

 Penaksir  intercept  dinotasikan dengan ,dengan mensubstitusikan        dengan ,maka diperoleh persamaan sebagai berikut:

                    

Penaksir  dihitung berdasarkan nilai median dari seluruh nilai ,dengan mengurutkan nilai dari yang terkecil sampai terbesar  yang berjumlah ,dengan .Jika genap dapat ditulis dan  jika ganjil,maka penaksir dari  intercept  diberikan sebagai berikut:

                  

Atau  dapat ditulis seperti berikut:

             ……….(9)

Berdasarkan persamaan  (6) dan (9) ,maka diperoleh persamaan model regresinya  berbentuk 

Contoh:

Dengan menggunakan data contoh 1.tentukan penaksir dari intercept !

Penyelesaian:

Menghitung nilai ,dan diperoleh hasil seperti pada tabel  di bawah ini:

                        Tabel 1.2 Nilai              

X	Y
0	2,5	2,5
1	3,1	2,533
2	3,4	2,266
3	4	2,299
4	4,6	2,332
5	5,1	2,265
6	11,1	7,698

Selanjutnya nilai-nilai  dari tabel  diatas diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar  dan hasilnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini.

                 Tabel 1.3 Nilai  setelah diurutkan  

No
1	2,265
2	2,266
3	2,299
4	2,332
5	2,5
6	2,533
7	7,698

                    

 

    Karena jumlah  ganjil ,maka:

              

3.      Pengujian koefisien slope ( )

            Pengujian koefisien slope (kemiringan) dengan menggunakan Metode Theil  disusun berdasarkan statistik Tau  Kendall  untuk mengetahui bentuk hubungan  variabel-variabel dalam  persamaan  regresi.langkah-langkahnya adalah:

1.      Perumusan hipotesis

            (koefisien regresi  tidak signifikan)

             (koefisien regresi signifikan)

2.      Besaran-besaran yang Diperlukan

a.       Mengatur pasangan-pasangan hasil pengamatan  dalam sebuah kolom dengan urutan dari nilai terkecil sampai terbesar menurut nilai X.

b.      Membandingkan masing-masing   dengan setiap   yang ada dibawahnya.

c.       Menetapkan  sebagai  banyak perbandingan  yang berurutan dari yang terkecil sampai terbesar  dan menetapkan  sebagai banyak perbandingan seperti diatas berurutan dari terbesar sampai terkecil.

d.      Misalkan

3.      Statistik Uji

a.       Jika tidak ada nilai X dan Y  yang sama,maka statistik ujinya:

   

Dengan     statistik  uji Tau Kendall

               banyak pasangan berurutan wajar

                                         banyak pasangan berurutan terbalik

                                     banyak pasangan yang diamati

                                    =  selisih antara dan

b.      Jika ada nilai X atau Y yang sama,maka statistik ujinya:

                                                        i.            Untuk nilai X dan Y  ada yang sama

Dengan:

                banyak nilai X yang sama  untuk suatu peringkat

                banyak  nilai Y yang sama untuk suatu peringkat

                                                      ii.            Untuk nilai Y ada yang sama

Seperti diuraikan di atas bahwa semua nilai X berbeda sehingga  ,maka persamaan di atas dapat menjadi:

                                 

4.      Kriteria Pengujian

Dengan mengambil taraf nyata ,dari tabel Tau Kendall dengan  dan  diperoleh .

   ditolak,jika (untuk  positif)  atau (untuk  negative)