Kajian Analisis Regresi Linear Sederhana Nonparametrik dengan Metode Theil

BAB I

PENDAHULUAN

1.1    Latar Belakang

Analisis regresi merupakan suatu metode yang digunakan untuk menganalisis hubungan antar variabel. Hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan yang menghubungkan variabel terikat Y dengan satu atau lebih variable bebas (Nachrowi,2008:15) .Hubungan fungsional antara variabel terikat dan variabel tersebut dijelaskan dalam sebuah kurva yang dinamakan kurva regresi. Pendekatan yang digunakan dalam menentukan  kurva regresi ada dua jenis,yaitu pendekatan statistika parametrik dan pendekatan statistika nonparametrik. Selain digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan antar variabel,analisis regresi juga dapat digunakan untuk peramalan (Hardle,1990:4).

Pendekatan statistika parametrik digunakan jika asumsi sebaran data membentuk pola tertentu,misal berbentuk linier,kuadratik,kubik dan lain-lain. Asumsi tersebut didasarkan atas teori dan informasi yang spesifik dan kuantitatif  dari peneliti mengenai bentuk fungsinya ataupun dari pengetahuan masa lalu.Jika asumsi pada kurva regresi dengan peendekatan statistik parametrik tidak dipenuhi,maka kurva regresi diduga menggunakan pendekatan statistik nonparametrik. Metode ini tidak bergantung pada asumsi-asumsi tertentu,seperti kenormalan suatu data,varians yang sama dan galat yang tidak berkorelasi.

Analisis regresi linier adalah metode statistika yang dapat digunakan untuk mempelajari  hubungan antara variabel terikat dan variabel bebas pada data yang diamati. Jika hubungan antara variabel terikat Y dan variabel bebas X adalah linier dan hanya terdapat satu variabel bebas X,maka akan diperoleh persamaan regresi linier sederhana (Simple Linear Regression). Sedangkan jika hubungan antara variabel terikat Y dan variabel bebas X adalah linear dan terdapat lebih dari satu variabel bebas (),maka persamaan regresinya disebut persamaan regresi linier berganda(Multiple Linear Regression). Dalam kasus parametrik,penaksiran parameter dari persamaan regresi linier sederhana tersebut biasanya diselesaikan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square). Penaksiran dengan menggunakan metode kuadrat terkecil harus memenuhi asumsi-asumsi sebagai berikut:

a.       Homoskedastisitas artinya varians dari nilai galat adalah konstan (sama) untuk semua nilai dari variabel bebas X.

b.      Nonaukorelasi berarti nilai galat setiap pengamatan pada setiap variabel bebas X bersifat bebas.

c.       Nonmultikolinearitas berarti tidak terdapat hubungan linear antara variabel bebas yang satu dengan variabel bebas yang lain dalam model regresi.

d.      Galat berdistribusi normal dengan rata-rata (mean) nol dan varians tertentu.

e.       Linearitas artinya bentuk hubungan antara variabel bebas X dan variabel terikat Y adalah linear.

Jika model regresi linier memenuhi asumsi-asumsi diatas,maka penaksiran yang diperoleh dengan metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square) dapat dikatakan telah sahih (benar,dapat diterima). Tetapi jika salah satu dari asumsi-asumsi tersebut tidak dipenuhi,maka penaksiran dengan metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square) akan menghasilkan kesimpulan yang bias sehingga metode tersebut tidak dapat digunakan untuk menaksir parameter-parameter dalam persamaan regresi linier.

Dalam kenyataannya,data yang diperoleh dari hasil penelitian tidak selalu mengikuti distribusi normal. Hal ini bisa disebabkan karena jumlah data sampel yang di dapat tidak cukup banyak sehingga tidak memenuhi distribusi normal. Tidak hanya itu,kesulitan pengukuran secara kuantitatif  menyebabkan banyak pengukuran data dilakukan secara kualitatif sehingga skala datanya adalah biner,ordinal atau nominal.

Salah satu asumsI-asumsi yang harus dipenuhi dalam metode kuadrat terkecil adalah kenormalan dari galat,yaitu galat berdistribusi normal dengan rara-rata nol dan varians tertentu.  Jika asumsi kenormalan tersebut tidak dipenuhi,maka dapat digunakan metode nonparametrik,karena metode nonparametrik tidak mengharuskan data berdistribusi normal. Metode nonparametrik sering juga disebut uji distribusi bebas (Distribution Free Test),dan istilah tersebut terlihat bahwa statistika nonparametrik merupakan metode statistika yang dapat ddigunakan dengan mengabaikan segala asumsi yang melandasi metode statistika parametrik. Terdapat beberapa metode nonparametrik yang dapat digunakan untuk mencocokkan garis regresi linear dengan data sampel yang teramati adalah metode Iterative Brown-Mood dan Metode Theil.(Daniel,1989:437).

Dalam penelitian akan dijelaskan bagaimana prosedur analisis regresi linear sederhana nonparametrik dengan metode Theil. Misalkan ada  n pasangan data pengamatan yaitu dengan persamaan regresi linear sederhana yaitu:

Dengan   adalah koefisien intercept (titik potong),  adalah koefisien slope (kemiringan) dari garis tersebut, adalah variabel bebas dan  adalah variabel terikat. Metode Theil menaksir koefisien slope (kemiringan) garis regresi dengan median kemiringan dari seluruh pasangan garis dari titik-titik variabel X dan Y,dengan nilai  harus  berbeda.

Berdasarkan latar belakang inilah,maka penulis melakukan penelitian dengan  judul “Kajian  Analisis Regresi Linear Sederhana Nonparametrik dengan Metode Theil”

1.2    Identifikasi  Masalah

Adapun yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1.      Bagaimana model Regresi Linier Sederhana dengan menggunakan  Metode Theil

2.      Bagaimana cara menguji keberartian koefisien slope  dengan menggunakan Metode Theil

3.      Bagaimana cara menghitung koefisien korelasi antara variabel X dan Y dengan Metode Theil

1.3    Pembatasan Masalah

Dalam analisis statistik nonparametrik sangat banyak Metode yang dapat digunakan dalam uji-uji asosiasi,korelasi dan dependensi.Oleh karena itu,dalam penelitian ini dibatasi pada penggunaan koefisien korelasi Rho Sperman dan Tau Kendall.

1.4    Tujuan dan Manfaat

   1.Tujuan

      Yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1)      Mengetahui model regresi linear sederhana dengan menggunakan Metode Theil.     

2)      Mengetahui cara menguji keberartian koefisien slope dengan menggunakan Metode Theil.

3)      Mengetahui cara menghitung koefisien korelasi antara variabel X dan Y dengan Metode Theil.

   2. Manfaat

       Adapun manfaat yang diharapkan dari penelitian ini addalah sebagai berikut:

1)      Memberikan informasi tambahan bagi mahasiswa mengenai kajian Analisis Regresi Linier Sederhana Nonparametrik dengan Metode Theil.

2)      Menambah perbendaharaan ilmu dan materi mengenai kajian Analisis Regresi Linier Sederhana Nonparametrik dengan Metode Theil di Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknik Universitas Nusa Cendana.

3)      Sebagai salah satu syarat yang harus di penuhi oleh penulis untuk memperoleh gelar sarjana pada Jurusan Matematika Fakultas Sains danTeknik Universitas Nusa Cendana.

1.5    Sistematika Penulisan

1. Pendahuluan

Dalam bab ini dikemukakan hal yang melatarbelakangi penelitian dan permasalahan yang akan diselesaikan dalam penelitian.Terdapat materi yang menarik terkait dengan bidang statistik yang akan dikaji dalam bentuk tulisan yaitu mengenai kajian Analisis Regresi Linear Sederhana Nonparametrik dengan Metode Theil. Dengan melakukan telaah pustaka dari berbagai referensi yang ada dan dengan bimbingan dari dosen yang membidangi masalah tersebut membuahkan gagasan untuk melakukan penelitian ini.

2.  Landasan Teori

             Bab ini mengemukakan teori dan argumentasi yang berkaitan dengan kajian teori Analisis Regresi Linier Sederhana Nonparametrik dengan Metode Theil.Berdasarkan referensi yang ada,dilakukan pembangunan konsep melalui proses penggunaan model matematika yang telah ada dan memberikan dasar teori untuk pemecahan masalah.

3.      Metode Kajian

      Desain kajian,prosedur kajian serta hasil yang diharapkan dari proses pengkajian Analisis Regresi Linier Sederhana Nonparametrik dengan Metode Theil merupakan hal-hal yang dikemukakan dalam bab ini. Dengan metode studi pustaka,dilakukan prosedur kajian yang didahului dengan memaparkan definisi dari konsep dasar analisis regresi dan selanjutnya memberikan kesimpulan atas kajian analisis regresi linear sederhana nonparametrik dengan metode Theil.

BAB 11

LANDASAN TEORI

2.1  Matriks

2.1.1  Definisi

               Matriks adalah suatu himpunan angka,variabel atau parameter dalam bentuk suatu persegi panjang,yang tersusun di dalam baris dan kolom. Pada umumnya,matriks dinotasikan dengan huruf besar sedangkan elemen-elemennya dengan huruf kecil,sebagai berikut:

    atau  

Dimana:  A = matriks A

 atau  = notasi matriks

adalah elemen dari matriks A,dimana  menyatakan baris dan  menyatakan kolom.Misalnya adalah elemen dari matriks A yang terletak pada baris ke-1 dan kolom ke-1.

Jenis-jenis matriks,sebagai berikut:

1.      Matriks Diagonal

Adalah suatu matriks bujursangkar yang semua elemen di luar elemen diagonal utama sama dengan nol,dan paling tidak satu elemen pada diagonal utamanya tidak sama dengan nol.

2.      Matriks Identitas

Adalah suatu matriks bujursangkar yang elemen-elemen di luar diagonal utamanya sama dengan nol,dan semua elemen pada diagonal utama sama dengan satu.Matriks identitas yang berordo  biasanya diberi symbol .

3.      Matriks Segitiga Atas

Adalah matriks bujursangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utama bernilai nol.Elemen-elemen pada segitiga atasnya tidak sama dengan nol dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol.

4.      Matriks Segitiga Bawah

Adalah matriks bujursangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utama bernilai nol.Elemen-elemen pada segitiga bawahnya tidak sama dengan nol dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol.

5.      Matriks Nol

Adalah suatu matriks yang semua elemennya bernilai nol.Matriks ini biasanya diberi symbol O dan bentuknya tidak selalu bujursangkar.

6.      Matriks Baris

Adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris.Matriks ini sering disebut dengan vektor baris.

7.      Matriks Kolom

Adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.Matriks ini sering disebut dengan vektor kolom.

8.      Matriks Simetris

Adalah suatu matriks bujursangkar yang memiliki ,sehingga transposenya sama dengan matriks semula.

2.1.2      Tranpose suatu Matriks

            Transpose suatu matriks adalah merubah ordo suatu matriks dari  menjadi . Jika  atau  adalah transpose dari matriks ,maka baris pada matriks  menjadi kolom pada matriks dan sebaliknya kolom pada matriks  menjadi baris pada matriks .

2.1.3   Determinan

            Determinan adalah suatu skalar (angka) yang diperoleh dari suatu matriks bujursangkar melalui operasi khusus.Disebut operasi khusus karena dalam proses penurunan determinan dilakukan perkalian-perkalian.Determinan dinotasikan dengan tanda .

2.1.4  Invers Matriks

            Invers matriks sering disebut dengan matriks kebalikan.Biasanya dituliskan sebagai berikut: jika  adalah suatu matriks bujursangkar maka  merupakan invers matriksnya.

2.2            Permutasi dan Kombinasi

           Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menghadapi masalah pengaturan suatu objek yang terdiri dari beberapa unsur,baik yang disusun dengan mempertimbangkan urutan sesuai dengan posisi yang diinginkan maupun yang tidak diinginkan.Dalam Matematika,penyusunan objek yang terdiri dari beberapa unsur dengan mempertimbangkan urutan disebut permutasi,sedangkan yang tidak mempertimbangkan urutan disebut kombinasi.

2.2.1        Permutasi

Definisi 2.2.1.1:  Permutasi dari  unsur yang berbeda  adalah pengurutan    dari   unsur  tersebut.

Teorema 2.2.1.1: Terdapat ! Permutasi dari  unsur yang berbeda.

Bukti: Asumsikan bahwa permutasi dari unsur  yang berbeda merupakan aktifitas yang terdiri dari  langkah yang berurutan.Langkah pertama adalah memilih unsur  pertama yang bisa dilakukan dengan cara.Langkah kedua adalah memilih unsur kedua yang bias dilakukan dengan  cara karena unsur pertama sudah terpilih.Langkah tersebut dilanjutkan sampai pada langkah ke- yang bisa dilakukan dengan 1 cara.Berdasarkan prinsip perkalian,diperoleh

                                                        

                        Permutasi dari   unsur yang berbeda.

Contoh 2.2.1.1: Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika subuntai ABC harus selalu  muncul bersama?

Penyelesaian: Karena subuntai ABC harus selalu muncul bersama,maka subuntai ABC  bisa dinyatakan sebagai satu unsur.Dengan demikian terdapat 4 unsur yang dipermutasikan,sehingga banyaknya permutasi adalah

Definisi 2.2.1.2: Permutasi- dari  unsur yang berbeda  adalah pengurutan dari sub-himpunan dengan  anggota dari himpunan .Banyaknya permutasi- dari  unsur yang berbeda dinotasikan dengan .

Teorema 2.2.1.2: Banyaknya permutasi-dari  unsur yang berbeda adalah:

                       

Bukti: Asumsikan bahwa permutasi- dari  unsur yang berbeda merupakan aktifitas yang terdiri dari langkah yang berurutan.Langkah pertama adalah memilih unsur pertama yang bisa dilakukan dengancara.Langkah kedua adalah memilih unsur kedua yang bisa dilakukan dengan  cara karena unsur pertama sudah terpilih. Langkah tersebut dilanjutkan sampai pada langkah ke- yang bisa  dilakukan dengan  cara.Berdasarkan prinsip perkalian,diperoleh:

 

Jadi

2.2.2        Kombinasi

Definisi 2.2.2.1: Kombinasi- dari  unsur yang berbeda  adalah seleksi tak terurut anggota dari himpunan (sub-himpunan dangan unsur).Banyaknya kombinasi- dari  unsur yang berbeda dinotasikan dengan  atau .

Teorema 2.2.2.1: Banyaknya kombinasi-dari  unsur yang berbeda adalah:

                    

Bukti: Pembuktian dilakukan dengan menghitung permutasi dari  unsur yang berbeda dengan cara sebagai berikut.

a.       Langkah pertama adalah  menghitung kombinasi-dari ,yaitu  .

b.      Langkah kedua adalah mengurutkan unsur teersebut,yaitu .

  

Dengan demikian,

                       

Contoh 2.2.2.1: Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih   dari 6 orang.

Penyelesaian: karena panitia yang terdiri dari 4 orang merupakan susunan yang tidak terurut,maka masalah ini merupakan kombinasi-4 dari 6 unsur yang tersedia.sehingga dengan menggunakan teorema 2.2.2.1 dimana dan ,diperoleh                                                                                   

Jadi terdapat 15 cara untuk membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa  dipilih dari 6 orang.

2.3           Tinjauan Statistika

2.3.1      Rata-rata dan Variansi Distribusi Normal

Distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah distribusi normal.Grafiknya disebut kurva normal,berbentuk lonceng.Suatu peubah acak kontinuyang distribusinya berbentuk lonceng disebut peubah acak normal.Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter yaitu (rata-rata) dan (simpangan baku).jadi fungsi padat dinyatakan dengan .

Definisi 2.3.1.1: Fungsi padat peubah acak normal ,dengan rata-rata dan variansi  ,ialah:    

Menghitung rataan distribusi normal,dapat ditulis:

               

Dengan mengganti   dapat ,diperoleh:

              

Variansi distribusi normal diberikan oleh:

                    

Dengan mengganti   dapat ,diperoleh:

              

  Integralkan menurut bagian dengan  dan ,sehingga dan   diperoleh:

                   

2.3.2      Distribusi Kumulatif dari Fungsi Normal

Distribusi normal adalah contoh dari distribusi variabel acak yang kontinu.Dalam kenyataan ada banyak distribusi normal yang berbeda-beda.Distribusi normal dapat diidentifikasi dengan rata-rata (mean) dan variansi (deviasi standar). Mean diletakkan pada puncak distribusi.Variansi menentukan bentuk dari distribusi apakah tersebar atau terkonsentrasikan dekat puncak.Distribusi kumulatif  suatu peubah acak normal X dengan rata-rata  dan variansi  dapat dinyatakan oleh:

                                         

2.3.3      Variansi Sampel

Variansi merupakan salah satu ukuran sebaran yang sering digunakan dalam berbagai analisis statistika.Standar deviasi merupakan akar kuadrat positif dari variansi.Secara umum variansi dapat dirumuskan sebagai:

Jika kita memiliki observasi yaitu  dan diketahui adalah rata-rata sample yang dimiliki,maka variansi dapat dihitung sebagai berikut:

                    

Sedangkan untuk populasi,variansi dihitung sebagai berikut:

                    

Sedangkan untuk standar deviasi,dapat dihitung sebagaiberikut         

                                                                                                                                  

2.4      Analisis Regresi

2.4.1        Regresi Linier Sederhana

Analisis regresi yang melibatkan hubungan antara satu variabel respon (tidak bebas) dengan satu variabel prediktor (bebas) diistilahkan dengan regresi linier sederhana, dengan model persamaan:

Dimana intercept  dan slope  merupakan parameter yang tidak diketahui nilainya,sedangkan  adalah error random dengan rata – rata nol dan varians  .  

Misalkan ada n pasangan observasi, katakan  dengan y merupakan variabel tidak bebasnya atau variabel respon yang berhubungan dengan n variabel bebas diukur dengan errornya dapat diabaikan sehingga nilai harapan y untuk masing – masing x adalah:

        

Dimana koefisien regresi yaitu intercept  dan slope  tidak diketahui. Metode least square(metode kuadrat terkecil) bertujuan untuk mengestimasi parameter  dan  yang menjadikan jumlah kuadrat error, yaitu  sekecil mungkin.Dengan metode kuadrat terkecil estimasi untuk dan  dinyatakan dengan dan .Prosedur metode kuadrat terkecil adalah sebagai berikut :

i. Membentuk  sebagai fungsi dan ,

 L  ==

ii. Mendiferensialkan L terhadap β₀ dan β₁, kemudian hasil diferensialnya, yaitu   dan  disamakan dengan 0.

                          

                                       

                         

                                     

                                     

                                            

         Persamaan dan dinamakan persamaan normal.

iii. Menghitung dan  berdasarkan dua persamaan yang terbentuk. Dari persamaan didapatkan formula ,

Formula  ini kemudian disubstitusikan ke persamaan

    

             

Dari persamaan (3) selanjutnya menghitung taksiran simpangan baku penaksir koefisien regresi yang merupakan akar variansi penaksir koefisien regresi,sehingga taksiran simpangan baku merupakan akar taksiran variansi.Formula terdiri dari variabel fixed yaitudan variabel random , sedangkan yang mempunyai variansi hanyalah variabel random. Untuk itu  formula  diupayakan agar antara  dan  jelas dan mudah bentuk hubungannya, dan yang akan diolah hanyalah pembilang, karena pembilanglah yang memuat .

                   

  Formula variansi  diperoleh sebagai berikut :

                     

               

              

             

             ;bila tidak diketahui, maka                        

 Penaksir Simpangan Baku () = 

 Formula variansi  diperoleh sebagai berikut :

         =

      Var() =

          =

        

        

        

Setelah kedua suku disamakan penyebutnya,maka penaksir var() diperoleh sebagai berikut :

Penaksir simpangan baku

 () =                                                                                          Untuk menghitung estimasi dari,maka Jumlah kuadrat galat dapat ditulis sebagai berikut:                                                   

Oleh karena itu  adalah estimator tidak bias untuk .

2.4.2         Pengujian Hipotesis dalam Regresi Linier Sederhana

2.4.2.1  Penggunaan Uji t

Model regresi yang baik diperoleh akan diperiksa setelah variabel respon   ditransformasikan sesuai dengan model transformasi. Pemeriksaan ini ditempuh melalui pengujian hipotesis.Jika pada percobaan akan dilakukan pengujian terhadap  yang sama dengan sebuah konstanta misalkan , maka pada umumnya hipotesis tersebut dirumuskan sebagai berikut:

                             

                             

Dan akan diduga alternatifnya dua arah, maka satistik uji yang digunakan pada pengujian hipotesis ini adalah:

Kaidah pengambilan keputusan untuk pengujian hipotesis ini adalah sebagai berikut:ditolak jika  . Dalam hal lain terima  .          

Dengan cara yang sama dapat juga digunakan untuk menguji intercept  , dan hipotesisnya adalah sebagai berikut:

                     

           

Statistik ujinya adalah:

                  

Kaidah pengambilan keputusan untuk pengujian hipotesis ini adalah sebagai berikut:

ditolak jika  . Dalam hal lain terima  .

Nilai  dapat diperoleh dari tabel t dengan menggunakan  dengan derajat kebebasan  (n-2).

Untuk kasus yang sangat penting,jika:

  

Hipotesis ini berkaitan dengan signifikansi dari regresi.Kegagalan untuk menolak  adalah ekuivalen dengan menyimpulkan tidak ada hubungan antara dan .

2.4.2.2  Pendekatan Analisis Varians Untuk Menguji Signifikansi dari Regresi

Metode analisis varians dapat digunakan untuk menguji signifikansi dari regresi.Prosedur ini membagi variansi total pada variable respons kepada komponen-komponen yang sangat bermakna sebagai basis dari tes.Pembagian itu sebagai berikut:

             

Kedua komponen pada ruas kanan berturut-turut mengukur jumlah variasi dalam dihitung terhadap garis regresi dan variasi residual yang tidak dapat dijelaskan oleh garis regresi,dinamakan  jumlah kuadrat galat (error sum of squares) dan                         

     jumlah kuadrat regresi (regression sum of squares) ditulis:

    

Dimana  dinamakan  jumlah kuadrat koreksi total dalam.Hubungannya adalah dan karena,maka jumlah kuadrat regresi dapat ditulis:

                

Jika hipotesis  benar,maka statistik  uji:

                

Berdistibusi  dan tolak jika .Prosedur tes dapat disusun dalam suatu  tabel analisis varians seperti pada table berikut.

             Tabel.Analisa Varians untuk Menguji Signifikansi dari Regresi

Sumber  Variansi	Jumlah Kuadrat	Derajat Bebas	Rataann Jumlah Kuadrat	F
Regresi		1
Galat		n-2
Total		n-1

Jadi pengujian dengan menggunakan uji t ekivalen dengan pengujian dengan   menggunakan uji F.Akan tetapi uji t lebih fleksibel yaitu dapat memungkinkan untuk menguji hipotesis alternative satu sisi di banding uji F yang hanya memungkin uji dua sisi untuk hipotesis alternative.

2.4.3        Interval Kepercayaan dalam Regresi Linear Sederhana

2.4.3.1  Interval Kepercayaan untuk Slope  dan Intercept

Definisi 2.4.3.1.1:Suatu interval kepercayaan tingkat 100(1-α)% untuk slope pada  regresi linier sederhana adalah:

 Sedangkan interval kepercayaan tingkat 100(1-α)% untuk intercept  adalah:

2.4.3.2  Interval Kepercayaan Untuk Rataan Respons

         Suatu interval kepercayaan dapat dikonstruksikan dari rataan respons pada suatu harga X,misalkanadalah suatu interval kepercayaan disebut interval kepercayaan untuk garis regresi.Karena  diperoleh estimasi titik yaitu:

Dengan adalah suatu estimator titik yang tidak bias untuk ,dan  adalah suatu estimator titik yang tidak bias untuk dan  sehingga varians dari adalah:

Definisi 2.4.3.2.1: Suatu interval kepercayaan tingkat 100(1-α)% untuk rataan respons pada harga dinamakan adalah:

Dimana dihitung dari model regresi.

Lebar interval kepercayaan untuk adalah suatu fungsi yang ditentukan oleh harga.Lebar  interval akan minimum jika dan makin lebar jika  makin besar.

2.5     Regresi Nonparametrik

Statistik nonparametrik disebut juga statistik bebas sebaran.Statistik nonparametrik tidak mensyaratkan bentuk sebaran parameter populasi.Statistik nonparametrik dapat digunakan pada data yang memiliki sebaran normal atau tidak.Statistik nonparametrik biasanya digunakan untuk melakukan analisis pada data nominal atau ordinal.

Metode statistik nonparametrik merupakan metode statistik yang dapat digunakan dengan mengabaikan asumsi-asumsi yang melandasi penggunaan metode statistik parametrik,terutama yang berkaitan dengan distribusi normal.Nama lain yang sering digunakan untuk statistik nonparametrik adalah statistik bebas distribusi.

Dalam banyak hal,pengamatan-pengamatan yang akan dikaji tidak selalu memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari uji-uji parametrik sehingga kerapkali dibutuhkan teknik-teknik inferensial dengan validitas yang tidak bergantung pada asumsi-asumsi yang kaku.Dalam hal ini,teknik-teknik dalam regresi nonparametrik memenuhi kebutuhan ini karena tetap valid walaupun tidak diperlukan pemenuhan asumsi kenormalan galat dan hanya berlandaskan asumsi-asumsi yang sangat umum.Penggunaan regresi nonparametrik dilandasi pada asumsi:

a.       contoh yang diambil bersifat acak dan kontinu.

b.      regresi bersifat linier.

c.       semua nilai saling bebas.

d.      data diasumsikan tidak berdistribusi normal.

Contoh regresi nonparametrik adalah uji tanda (sign test),uji jenjang bertanda Wilcoxon,Metode Theil,Metode Deret Fourier,Uji chi square dan lain-lain.

Perbandingan statistik nonparametrik dan statistik parametrik.Kekurangan dan kelebihan setiap pemilihan prosedur pengujian data,apakah itu menggunakan nonparametrik atau parametrik memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing.Berikut adalah kelebihan dan kekurangan masing-masing prosedur:

Kelebihan statistik nonparametrik dibandingkan dengan statistik parametrik adalah:

a.       Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan.

b.      Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah.

c.       Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim.

d.      Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal).

Kekurangan statistik nonparametrik dibandingkan dengan statistik parametrik adalah:

a.       Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistik parametrik,maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi.

b.      Pekerjaan hitung-menghitung(aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan.

Menurut jenisnya data terdiri dari data kualitatif dan kuantitatif.Data kuantitatif adalah data yang diukur dalam suatu skala numerik(angka).

Data kuantitatif dapat dibedakan menjadi:

1.      Data interval yaitu data yang diukur dengan jarak diantara dua titik pada skala yang sudah diketahui.

2.      Data rasio yaitu data yang diukur dengan suatu proporsi.

Data kualitatif adalah data yang tidak dapat diukur dalam skala numerik. Namun dalam statistik semua data harus dalam bentuk angka,maka data kualitatif umumnya dikuantifikasi agar dapat diproses.Kuantifikasi dapat dilakukan dengan mengklasifikasi data dalam bentuk kategori.Data kualitatif dapat dibedakan menjadi:

1.      Data nominal yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk kategori.

2.      Data ordinal yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk kategori,namun posisi data tidak sama derajatnya karena dinyatakan dalam skala peringkat.

2.6     Korelasi dengan Metode Nonparametrik

2.6.1        Koefisien Korelasi Rho Spearman

Asumsi-asumsi:

1.      Data untuk analisis merupakan sebuah sampel acak yang terdiri atas  pasangan hasil pengamatan.

2.      Jika data terdiri atas hasil-hasil pengamatan dari suatu populasi yang bivariate,maka ditetapkan ke- hasil pengamatan dengan .

3.      Setiap X ditetapkan peringkatnya relative terhadap semua nilai X lain yang teramati,dari yang terkecil hingga yang terbesar.Peringkat nilai X ke- diberi notasi ,dan  bila adalah nilai X teramati yang paling kecil.

4.      Setiap Y ditetapkan peringkatnya relative terhadap semua nilai Y lain yang teramati,dari yang terkecil hingga yang terbesar.Peringkat nilai Y ke- diberi notasi ,dan  bila adalah nilai Y teramati yang paling kecil.

5.      Jika diantara nilai-nilai X atau nilai-nilai Y terdapat angka sama,maka masing-masing nilai yang sama diberi peringkat rata-rata dari posisi-posisi yang seharusnya.

Hipotesis-hipotesis:

A.    (Dua Sisi)

: X dan Y saling bebas

: ada korelasi positif dan negatif antara X dan Y.

B.     (Satu Sisi)

: X dan Y saling bebas

: ada korelasi positif  antara X dan Y.

C.     (Satu Sisi)

: X dan Y saling bebas

: ada korelasi negatif antara X dan Y.

Statistik Uji:

              ,dengan

Apabila terjadi angka yang sama,maka statistik uji Rank Spearman mengalami      koreksi,yaitu:

                   

Sehingga rumus statistik uji menjadi:

             

Kaidah pengambilan keputusan:

Dengan menggunakan tabel A.11 yang terdapat pada lampiran,maka harga-harga kritis statistik Uji Spearman yang menyediakan nilai-nilai kritis  adalah:

Untuk A (Dua Sisi): Tolaklah pada taraf nyata ,jika nilai  lebih besar daripada positif nilai  ,atau nilai  lebih kecil daripada negatif  nilai   pada taraf nyata .

Untuk B (Satu Sisi): Tolaklah pada taraf nyata ,jika nilai  lebih besar daripada   positif  nilai   pada taraf nyata .

Untuk C (Satu Sisi): Tolaklah pada taraf nyata ,jika nilai  lebih kecil daripada negatif  nilai   pada taraf nyata .

2.6.2        Koefisien Korelasi Rank Kendall        

Koefisien Korelasi Rank Kendall merupakan suatu nilai yang menunjukkan derajat asosiasi atau korelasi antara dua himpunan variabel dalam sebuah penelitian yang telah disusun berdasarkan peringkatnya.

Asumsi-asumsi yang digunakan dalam uji ini adalah:

a.  Batas nilai dari koefisien korelasi Kendall adalah antara -1 sampai dengan 1

b.Data terdiri atas sampel random yang berpasangan (bivariate) berukuran dengan

c.  Skala pengukuran yang digunakan sekurang-kurangnya ordinal

Dalam menghitung nilai T ,perlu dikenal istilah concordant dan discordant.Ketika terdapat sejumlah nilai pengamatan dan .Apabila dan ,maka nilai pengamatan tersebut dianggap sebagai pasangan serasi,wajar,atau concordant.Sedangkan apabila dan ,maka nilai pengamatan tersebut dianggap sebagai pasangan discordant.Dengan demikian,apabila pasangan concordant lebih banyak daripada pasangan discordant,maka nilai koefisien akan menjadi positif.Sedangkan,apabila pasangan discordant lebih banyak daripada concordant,maka nilai koefisien akan menjadi negative.

Statitik uji:

                                                                                                                     

dimana:   S adalah selisih antara

              = banyaknya pasangan berurutan wajar (concordant)

              = banyaknya pasangan berurutan terbalik (discordant)

                 = banyaknya pasangan observasi ()

Apabila terjadi angka yang sama,maka statistik uji Tau Kendall mengalami koreksi,yaitu:

                         

dimana:

                           

               banyak observasi berangka sama pada variabel

               banyak observasi berangka sama pada variabel

BAB III

METODE KAJIAN

3.1  Desain Kajian

           Metode yang digunakan dalam penulisan proposal ini adalah studi pustaka.Dari beberapa sumber referensi dibuat suatu kajian khusus mengenai Analisis Regresi Linier Sederhana Nonparametrik dengan Metode Theil.Sumber kajian dan penulisan diperoleh dari buku-buku referensi,jurnal-jurnal ilmiah,dan artikel web lainnya.

Kajian Analisis regresi linier sederhana nonparametrik bersifat penelitian murni atau penelitian dasar.

3.2  Prosedur Kajian

            Adapun langkah-langkah kajian Analisis Regresi linier sederhana nonparametrik akan didahului dengan memaparkan definisi dari konsep dasar matematika yaitu konsep Matriks,Permutasi dan kombinasi,Tinjauan statistika,analisis regresi serta konsep-konsep matematika lainnya yang mendukung kajian analisis regresi linier sederhana nonparametrik.

            Sebelum mengkaji analisis regresi linier sederhana nonparametrik,terlebih dahulu menjelaskan definisi,asumsi-asumsi dan penurunan rumus-rumus yang berlaku dalam konsep Matriks,Permutasi dan kombinasi,Tinjauan statistika,analisis regresi. Proses pengkajian diawali dengan mengelaborasi asumsi-asumsi dan menurunkan rumus yang berhubungan dengan konsep Matriks,Permutasi dan kombinasi,Tinjauan statistika,analisis regresi.Selanjutnya memberikan kesimpulan atas kajian analisis regresi linier sederhana nonparametrik.

3.3  Hasil yang Diharapkan

        Adapun hasil yang ingin dicapai penulis dalam proses pengkajian ini adalah sebagai berikut.

1)      Mengetahui model regresi linear sederhana dengan menggunakan Metode Theil.

2)      Mengetahui cara menguji keberartian koefisien slope  dengan menggunakan Metode Theil.

3)      Mengetahui cara menghitung koefisien korelasi antara variabel X dan Y dengan Metode Theil.

 

DAFTAR PUSTAKA

N.R.Draper,H.Smith.1992.Analisis Regresi Terapan.Ed.2.Jakarta:Gramedia Pustaka Utama.

Siegel,Sidney.1986.Statistik Nonparametrik untuk ilmu-ilmu social.Jakarta:Gramedia Pustaka Utama.

RK.Sembiring.1995.Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insiyur dan Ilmuwan.Bandung:ITB.

Kendall,M.G,and Smith,B.B.1939.T Problem of  m Rangking.Ann.Math.Statist,10,275-287.

Sudjana.1995.Teknik Analisis Regresi dan Korelasi.Ed.3.Bandung:Tarsito.

      Sudjana.1995.Metoda Statistika.Ed.6.Bandung:Tarsito.

  Rober.V.Hogg,Elliot A.Tanis.Probability and Statistical Inference.Ed.9.Prentice Hall International,Inc.

       M.J.Pella.2005.Bahan Ajar Analisis Regresi.Universitas Nusa Cendana:Kupang.