METODE
THEIL
Analisis regresi merupakan suatu
metode yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel bebas dan
variabel terikat yang dinyatakan dalam sebuah persamaan regresi.Dalam analisis
tersebut diberlakukan asumsi-asumsi terhadap galat,salah satunya yaitu bahwa
galat menyebar memenuhi distribusi normal dengan rata-rata nol dan varians
tertentu.Apabila asumsi tersebut dipenuhi,maka penaksiran parameter dari
persamaan regresi diselesaikan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (ordinary Least Square). Tetapi dalam
kenyataannya,data yang diperoleh dari hasil penelitian tidak selalu mengikuti
distribusi normal.Sehingga diperlukan suatu metode statistika yang dapat digunakan
dengan mengabaikan segala asumsi yang melandasi metode statistika parametrik
dan metode yang tepat adalah metode statistika nonparametrik.Salah satu metode
statistika nonparametrik yang digunakan untuk menyelesaikan analisis regresi
linier dengan kenormalan galat tidak dipenuhi adalah Metode Theil.
Metode Theil adalah salah satu metode
statistika nonparametrik yang menaksir koefisien kemiringan (slope) garis
regresi dengan cara mencari median kemiringan seluruh pasangan garis dari
titik-titik variabel X dan Y,dengan nilai
yang
berbeda.Pengujian koefisien kemiringan (slope) disusun berdasarkan statistik
Tau Kendall yang digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan variabel-variabel
dalam persamaan regresi.
Analisis regresi dengan menggunakan
Metode Theil dilandasi pada asumsi-asumsi sebagai berikut:(Daniel,1989:448)
1. Persamaan
regresinya adalah:
,
Dengan
adalah variabel bebas,
dan
adalah parameter-parameter yang tidak diketahui.
2. Untuk
masing-masing nilai
terdapat nilai
.
3.
adalah nilai yang teramati dari Y.
4. Semua
nilai
yang berbeda (tidak ada angka yang sama)sehingga dapat
ditetapkan
5. Nilai-nilai
saling bebas dan berdistribusi secara acak dengan
median nol dan mempunyai hubungan saling bebas dengan
Ø Penaksiran
Parameter dengan Metode Theil
1.Penaksiran
koefisien slope(
)
Theil telah mengusulkan sebuah metode
untuk mendapatkan penaksir koefisien
,jika asumsi kenormalan galat tidak terpenuhi. Dalam
hal ini diasumsikan bahwa data sesuai dengan model regresi linier sederhana
sebagai berikut:
Semua
nilai
berbeda (tidak ada angka
yang sama) sehingga dapat ditetapkan
. Data yang terrsedia untuk di analisis terdiri dari
pasangan nilai
pengamatan
. Untuk mendapatkan penaksir
,pertama-tama hitung semua nilai
. Dengan
adalah nilai slope
(kemiringan) pasangan
dan
yang dituliskan
sebagai berikut:
……….(1)
dengan
dan
Asumsikan
nilai
seluruhnya
berbeda,kemudian nilai
tersebut diurutkan dari niai terkecil sampai terbesar
sehingga dengan jelas
untuk seluruh
dan
Akan dibuktikan bahwa
……terbukti
Maka
untuk
pengamatan ada
dari nilai
yang berbeda.Akan dibuktikan bahwa
:
Untuk
lebih jelasnya nilai-nilai
yang akan dihitung dari
pengamatan
dapat ditulis dalam bentuk matriks segitiga atas sebagai berikut:
Penaksir
yang baik untuk
akan menjadi nilai galat yang sesuai dengan
masing-masing nilai pengamatan dan dinotasikan dengan
,dan nilai galat
akan mempunyai
median nol serta mempunyai hubungan yang saling bebas dengan
.Sehingga untuk mendapatkan penaksir
dengan metode
Theil pada dasarnya adalah dengan membuat jumlah konkordan
sama dengan jumlah diskordan
pada data pasangan
.Statistik yang digunakan adalah :
,
dan
……..(2)
dengan
Dimana
[
Keterangan:
selisih nilai galat
dengan
Jumlah tanda dari konkordan
dikurangi diskordan
Pada data berpasangan
Untuk
mendapatkan penaksir
dilakukan dengan cara membuat
,karena jumlah tanda konkordan sama dengan jumlah
tanda diskordan.Sehingga dapat disimpulkan bahwa jumlah galat
dan
saling bebas.Jika
disusun dari
yang terkecil sampai yang terbesar,maka dapat menggantikan
dengan
,dengan
………(3)
Sehingga
,
dan
….(4)
Dimana
Pembilang
pada persamaan (3) diatas mempunyai nilai yang sama dengan
,sehingga dengan mengganti
dengan
tidak akan mempengaruhi tanda
,karena penyebut
selalu bernilai positif yaitu jika nilai
disusun dari yang terkecil sampai terbesar dengan
dan
.
Untuk mendapatkan
,maka dipilih
,sehingga memungkinkan setengah pasangan konkordan dan
setengahnya lagi diskordan.Jika jumlah tanda positif (konkordan)dan
negative(diskordan) sama
,maka akan menyebabkan nilai koefisien korelasi Tau
Kendall antara
dan
sama dengan
nol,artinya
dan
saling bebas.
Penaksir untuk
ditulis dengan
lambang
,yang dihitung berdasarkan median dari
dengan mengurutkan nilai
dari yang terkecil sampai terbesar yang berjumlah N.
Jika N genap maka dapat di tulis N = 2M
dan N = 2M+1 jika N ganjil.Sehingga penaksir dari koefisien slope
dapat
dinyatakan sebagai berikut:
…………….(5)
Dengan
atau
dapat ditulis:
……..(6)
Contoh
1:
Seseorang
mengamati kecepatan air mengalir dalam meter kubik per detik (Y)dititik
tertentu di sebuah pengunungan yang dicatat dalam interval waktu (X) yang
dimulai dengan
,sehingga didapatkan data sebagai berikut:
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
Y
|
2,5
|
3,1
|
3,4
|
4,0
|
4,6
|
5,1
|
11,1
|
Gunakan
Metode Theil untuk menaksir koefisien slope
pada data tersebut!
Penyelesaian:
Pertama-tama
diurutkan nilai X dari nilai yang terkecil sampai terbesar kemudian menghitung
banyak nilai
yang harus
dihitung dari
data yaitu:
Jadi
banyak nilai
yang harus dihitung ada 21,selanjutnya akan dihitung
nilai-nilai
sebagai
berikut:
Dan
apabila dilanjutkan terus dengan cara ini,hasilnya dapat ditulis dalam bentuk
matriks sebagai berikut:
Tabel 1.1. Nilai
setelah diurutkan
M
|
b(M)
|
1
|
0,3
|
2
|
0,45
|
3
|
0,45
|
4
|
0,5
|
5
|
0,5
|
6
|
0,5
|
7
|
0,5
|
8
|
0,52
|
9
|
0,525
|
10
|
0,55
|
11
|
0,567
|
12
|
0,6
|
13
|
0,6
|
14
|
0,6
|
15
|
0,6
|
16
|
1,433
|
17
|
1,6
|
18
|
1,925
|
19
|
2,367
|
20
|
3,25
|
21
|
6
|
Karena
Maka
2. Penaksiran
intercept (
)
Setelah penaksir
telah diperoleh,maka persamaan regresinya berbentuk:
Penaksir
intercept
dinotasikan
dengan
,dengan mensubstitusikan
dengan
,maka diperoleh persamaan sebagai berikut:
Penaksir
dihitung berdasarkan nilai median dari seluruh nilai
,dengan mengurutkan nilai
dari yang terkecil sampai terbesar yang berjumlah
,dengan
.Jika
genap dapat ditulis
dan
jika
ganjil,maka penaksir dari intercept
diberikan sebagai berikut:
Atau
dapat ditulis seperti berikut:
……….(9)
Berdasarkan
persamaan (6) dan (9) ,maka diperoleh
persamaan model regresinya
berbentuk
Contoh:
Dengan menggunakan data
contoh 1.tentukan penaksir dari intercept
!
Penyelesaian:
Menghitung nilai
,dan diperoleh hasil seperti pada tabel di bawah ini:
Tabel 1.2 Nilai
X
|
Y
|
|
0
|
2,5
|
2,5
|
1
|
3,1
|
2,533
|
2
|
3,4
|
2,266
|
3
|
4
|
2,299
|
4
|
4,6
|
2,332
|
5
|
5,1
|
2,265
|
6
|
11,1
|
7,698
|
Selanjutnya nilai-nilai
dari tabel diatas diurutkan dari yang terkecil sampai
terbesar dan hasilnya dapat dilihat pada
tabel di bawah ini.
Tabel 1.3 Nilai
setelah
diurutkan
No
|
|
1
|
2,265
|
2
|
2,266
|
3
|
2,299
|
4
|
2,332
|
5
|
2,5
|
6
|
2,533
|
7
|
7,698
|
Karena jumlah
ganjil ,maka:
3. Pengujian
koefisien slope (
)
Pengujian koefisien slope (kemiringan) dengan menggunakan Metode Theil disusun berdasarkan statistik Tau Kendall
untuk mengetahui bentuk hubungan variabel-variabel
dalam persamaan regresi.langkah-langkahnya adalah:
1.
Perumusan hipotesis
(koefisien regresi
tidak
signifikan)
(koefisien regresi
signifikan)
2.
Besaran-besaran yang Diperlukan
a. Mengatur
pasangan-pasangan hasil pengamatan
dalam sebuah
kolom dengan urutan dari nilai terkecil sampai terbesar menurut nilai X.
b. Membandingkan
masing-masing
dengan
setiap
yang ada
dibawahnya.
c. Menetapkan
sebagai banyak
perbandingan
yang berurutan
dari yang terkecil sampai terbesar dan
menetapkan
sebagai banyak
perbandingan seperti diatas berurutan dari terbesar sampai terkecil.
d. Misalkan
3.
Statistik Uji
a. Jika
tidak ada nilai X dan Y yang sama,maka
statistik ujinya:
Dengan
statistik uji Tau Kendall
banyak pasangan
berurutan wajar
banyak pasangan
berurutan terbalik
banyak pasangan
yang diamati
= selisih antara
dan
b. Jika
ada nilai X atau Y yang sama,maka statistik ujinya:
i.
Untuk nilai X dan Y ada yang sama
Dengan:
banyak nilai X
yang sama untuk suatu peringkat
banyak nilai Y yang sama untuk suatu peringkat
ii.
Untuk nilai Y ada yang sama
Seperti diuraikan di
atas bahwa semua nilai X berbeda sehingga
,maka persamaan
di atas dapat menjadi:
4. Kriteria
Pengujian
Dengan
mengambil taraf nyata
,dari tabel Tau Kendall dengan
dan
diperoleh
.
ditolak,jika
(untuk
positif)
atau
(untuk
negative)
